2011/4/12 Samuel Wainer <[email protected]>:
> É simples mostrar que a < e^a?
Tudo depende da definição que você tem para e^a. Mas acho que qualquer
que seja, é fácil.
Primeira definição: e^x = soma x^n/n! (n = 0 até infinito) = 1 + x +
x^2 + ... + x^n/n! + ...
- se x > 0, e^x > 1 + x, fim
- se x < 0, você nota que e^(-x) é positivo, e que e^x * e^(-x) = 1
(isso dá um pouquinho mais de trabalho porque tem que mandar a fórmula
do binômio, e é mais "fácil" direto de provar que e^a * e^b = e^(a+b))
daí e^x é positivo e x < 0, ok
Segunda definição: e^x é a solução da equação diferencial f'(x) =
f(x), f(0) = 1.
- a melhor saída é derivar a função e^x - x, você obtém e^x - 1, e
depois e^x. Daí, você vê que a função começa positiva, com a primeira
derivada igual a zero, e segunda derivada positiva. Bom, o que quer
dizer que a primeira derivada será positiva para x > 0, e portanto a
função continuará positiva para x > 0 (numa vizinhança). Com um
argumento de conexidade de R+, você vê que a função e^x é positiva em
todo o R^+, e portanto a segunda derivada é sempre positiva (e
crescente, porque a derivada é e^x também, etc, mas não importa), logo
a primeira derivada também, logo a função original também. Seja agora
g(x) = f(x)*f(-x), note que g(0) = 1 e que g'(x) = f'(x)f(-x) +
f(x)*(-f'(x)) = 0, logo e^(-x) = 1/e^x, e você termina como antes. Dá
um pouco mais de trabalho porque eu evitei "deduzir" a fórmula e^x = 1
+ x + ... + x^n/n! + ... que decorre da definição, para dar uma demo
um pouco diferente
Terceira definição: e^x = limite duplo de a^b quando a -> e e b -> x,
com a e b racionais ("definição por continuidade", ou "completamento")
Mostre que a^b < A^b quando 1 < a < A e b > 0 (ou seja, que "elevar a
b" é crescente) o melhor é fazer isso em duas parte, separando b=p/q e
fazendo para x^p e depois para a raiz p-ésima.
Daí você pode provar que 2^x > x, e como e^x > 2^x para x > 0, acabou
(para x <= 0 é óbvio que e^x é positivo com essa definição).
Provando que 2^x > x: é verdade para x < 1, pois 2^x >= 1 > x. Para x
entre 1 e 2, 2^x >= 2 > x. Para x entre 2 e 4, 2^x >= 2^2 = 4 > x. E
por indução (que eu não escrevo aqui) você vê que 2^n >= n+1 para n
inteiro é suficiente para provar que 2^x > x para todo x.
> tentei e não saiu nd....
Eu acho que o "mais fácil" é usar a série, que além disso vai dar
várias idéias de outras desigualdades, como por exemplo e^x > 1+x
(bom, essa, "na verdade", é melhor ver como a convexidade da
exponencial), ou e^x > 1 + x + ... + x^n/n! (para x > 0), etc, etc
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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