Oláa colegas da lista
Alguém conhece uma demonstração fácil do fato do baricentro ser o centro de
gravidade?
Abreviação que vou usar:{a, b} I -> integral de a a b
Perguntei para o meu professor se existia uma demonstração mais bonita do
baricentro como sendo o centro de gravidade do que com integral. Ele
desconhecia, logo tentei demonstar o fato por integral mesmo.Dado um triângulo
ABC no plano cartesiano com A na origem, B em (a, b) e C em (c, 0), seu
baricentro G em (x0, y0).temos que pelas leis da física, uma figura plana em
seu plano de gravidade tem seu momento estático resultante x e y nulos.Momento
estático x de J a K = A.d, sendo A a área e d a de J a uma reta paralela ao
eixo y que passa por KMomento estático y de J a K = A.d, sendo A a área e d a
de J a uma reta paralela ao eixo x que passa por K
Em outras palavras, a o produto das áreas de altura y e comprimento dx (dx ->
0), com a distância horizontal destes com x0 é nula (o mesmo para y)
Eixo x:
1) Se x <= a, y cresce na reta AB->a/b = x/y -> y = x.b/a
2) Se x >= a, y cresce na reta BC ->(c-a)/b = (c-x)/y -> y = (c-x).b/(c-a)
Momento estático x = Mx = {0, a} I [(x.b/a).dx.(x0-x)] + {a, c} I
[((c-x).b/(c-a)).dx.(x0-x)]
Mx = (b/a).{0, a} I [-x² +x0x]dx + b/(c-a).{a,c} I [x² -(x0+c)x + cx0]dx = 0
-a²/3 + ax0/2 + (c²+ac+a²)/3 -(x0+c)(c+a)/2 + cx0 = 0
-2a² + 3ax0 + 2c² + 2ac + 2a² - 3c² - 3x0c - 3x0a - 3ac - 6cx0 = 0
-c² - ac - 3x0 c = 0 -> x0 = (a+c)/3
No Eixo y:Mesmo raciocínio
Tem algum jeito mais fácil, rápido e bonito, por geometria básica?
[]'s
Jooão
