Como estah, o problema me parece indeterminado.
Notacao: seja g(x)=x/(1-x). Note que g(x) eh bijetiva, com inversa
h(y)=y/(1+y). A condicao do enunciado eh f(x)+f(g(x))=x, ou
f(h(y))+f(y)=h(y).
Agora, dado um y_0 fixo, considere a sequencia {y(n)} definida por
y(n)=g^n(y_0), onde n eh um inteiro qualquer (positivo ou negativo;
"^" aqui eh composicao de funcoes, nao potencia). Vou chamar o
conjunto {y(n)} de ORBITA de y_0.
(Se voce quiser enxergar isto geometricamente, escolha um y_0 e
imagine uma pulga pulando dali para y(1), entao para y(2), etc., e
outra pulando de y_0 para y(-1), y(-2), etc.)
Entao, a condicao do enunciado eh equivalente a dizer que
f(y(n))+f(y(n+1))=y(n) para todo n. Dado um y_0, se todos os numeros
da orbita forem distintos, voce pode escolher f(y_0) como quiser, e
determinar os outros valores a partir deste, usando uma recorrencia
para tras e outra para a frente. Em outras palavras, escolha f(y_0)
como desejar e depois defina f no resto da orbita assim:
f(y(1))=y_0-f(y_0)
f(y(2))=y(1)-f(y(1))
f(y(3))=y(2)-f(y(2))
...
f(y(n+1))=y(n)-f(y(n)) para n=0,1,2,3,...
e
f(y(-1))=y(-1)-f(y_0)
f(y(-2))=y(-2)-f(y(-1))
f(y(-3))=y(-3)-f(y(-2))
...
f(y(n-1))=y(n-1)-f(y(n))) para n=0,-1,-2,-3,...
Se todos os y(i) forem distintos dois-a-dois, a recorrencia acima
defina uma funcao f(x) que satisfaz a condicao do enunciado, pelo
menos nos pontos y(i) da tal orbita.
Agora a orbita do 2 eh:
PARA A FRENTE: 2,g(2)=-2,g(g(2))=-2/3,-2/5,...,-2/(2p+1),...
PARA TRAS: 2, h(2)=2/3, h(h(2))=2/5,2/7,...2/(2p+1),...
que nao "repete". Entao voce pode escolher f(2)=qualquer coisa, e
determinar os outros valores de f((+-)2/(2p+1)) usando a tal
recorrencia. Assim voce terah uma funcao que satisfaz a condicao do
enunciado, e f(2) estah "solto".
(Para ser mais preciso, o que provamos aqui eh que ou (i) a funcao f
do enunciado nao existe, ou (ii) se ela existir, trocando os valores
de f na orbita do 2 pelos indicados pela recorrencia acima, teremos
outra funcao f que ainda satisfaz o enunciado, portanto f(2) seria
indeterminado.
Agora, olhando g(x) e h(y) com cuidado eh facil ver que a UNICA orbita
que repetiria eh a do y_0=0, que nem estah no dominio, entao dah para
mostrar que f estah realmente *muito* indeterminada.)
Abraco, Ralph.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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