Eu também faria assim... 2^10 = 1024 (todo mundo sabe, né?), 3^8 = 81x81 = (80 + 1)^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561, 4^8 = 2^16=65536 (bom, para quem programa é conhecido, senão, você faz 64x1024, dá um trabalhinho, mas sai), 5^5 = 25x25x5 = 25x125 = (20 + 5)(120 + 5) = 2400 + 600 + 100 + 25 = 3125 (e aí você descobre que sempre termina em "25"), 7^3 = 343.
Somando tudo, 1024 + 6561 + 65536 + 3125 + 343 = 76589 cuja soma dos algarismos é 35. Bom, agora resta pensar como chegar nesse resultado sem fazer todas essas contas. Uma idéia (vinda do Thiago) é ver que há uma periodicidade, mas infelizmente ela descamba a partir de um certo ponto, quando há muitas casas nas potências. O que é verdade é o quanto vale a soma dos algarismos módulo 9. (o que é invariante se você fizer isso mais de uma vez, o que ele fez, mas a questão não pedia isso!). Armados disso (e de phi(9) = 6), a gente vê a periodicidade máxima das potências, o que ajuda bastante, e podemos fazer as contas módulo 9. Isso ajuda um pouco. Com umas estimativas fáceis, acho que dá pra provar que o nosso número em questão é menor do que 200000. (basta ver que 4^8 é o maior). Assim, o máximo da soma dos algarismos é 1+9+9+9+9+9 = 46. A gente já sabe o quanto vale módulo 9 essa soma, seria legal poder achar outro módulo... Ah, a minha resposta deu diferente da do Thiago (módulo 9) porque ele escreveu o período do 4^8 errado: é 1, 4, 7 :) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/2/14 Thiago Tarraf Varella <[email protected]> > > Um jeito alternativo é assim: > Perceba que a soma dos algarismos dessas potências seguem um padrão: > 2^0 = 1 Sa 1 > 2^1 = 2 Sa 2 > 2^2 = 4 Sa 4 > 2^3 = 8 Sa 8 > 2^4 = 16 Sa 7 > 2^5 = 32 Sa 5 > 2^6 = 64 Sa 1 > 2^7 = 128 Sa 2 > 2^8 = 256 Sa 4 > ... > Ou seja, > 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, ... > Para a0 = 1, a1 = 2, a3 = 4, contando até o a10 teremos 7. Já temos o > primeiro termo da soma. > Agora no 3; > 3^0 = 1 Sa 1 > 3^1 = 3 Sa 3 > 3^2 = 9 Sa 9 > 3^3 = 27 Sa 9 > 3^4 = 81 Sa 9 > ... > E assim vai, então a soma dos termos de 3^8 = 9 > Por enquanto, temos 7+9 > Agora o 4. > 4^0 = 1 Sa 1 > 4^1 = 4 Sa 4 > 4^2 = 16 Sa 5 > 4^3 = 64 Sa 1 > ... > 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5 > Contando, temos o 5. > 7+9+5 > > Agora, vamos ao 5: > > 5^0 = 1 Sa 1 > 5^1 = 5 Sa 5 > 5^2 = 25 Sa 7 > 5^3 = 125 Sa 8 > 5^4 = 625 Sa 3 > 5^5 =3125 Sa 2 > Bom, esse não achei nenhum padrão antes de chegar no 5^5 > 7+9+5+2 > > Falta apenas 7^3 > 7^0 = 1 1 > 7^1 = 7 7 > 7^2 = 49 4 > 7^3 =343 1 > 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1... > Bom, esse achamos o 1, então temos ao todo > 7+9+5+2+1 > 16+7+1 > 7+8 > 15 > 6 > A soma dos algarismos é 6! > > > ________________________________ > Date: Thu, 11 Feb 2010 01:51:32 -0800 > From: [email protected] > Subject: [obm-l] Potências > To: [email protected] > > Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos algarismos > do número 2^10 + 3^8 + 4^8 + 5^5 + 7^3 ? > Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei. > Abs > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
