Oi, Thiago. Seja bem-vindo! Que bom primeiro E-mail!
O seu segundo problema tem uma solucao bem legal (mas um pouco
misteriosa), e uma mais bracal (mas mais geral). Vamos a elas:
SOLUCAO 1: MAGICA E RAPIDA, MAS SOH SERVE EM UNS POUCOS PROBLEMAS
Sejam A e B os numeros que "eu" tiro no D8 e D12 (e seja X=A+B), e
seja Y o numero que "voce" tira no seu D20. Entao os possiveis
resultados de nosso experimento eh o conjunto das ternas ordenadas
(A,B,Y) onde A vai de 1 a 8, B de 1 a 12 e Y vai de 1 a 20. De fato,
no total, sao 8.12.20=1920 possibilidades para o nosso experimento.
Note uma simetria interessante neste "espaco amostral": para cada
possibilidade (A,B,Y) existe uma possibilidade igualmente provavel
(9-A,13-B,21-Y), certo?
Bom, agora a chave eh voce perceber que eu ganho em EXATAMENTE UMA
destas duas possibilidades! Afinal,"eu ganhar" com a segunda terna
ordenada significa:
(9-A)+(13-B)>21-Y sse
22-A-B>21-Y sse
A+B<Y-1 sse
A+B<=Y
(esta ultima equivalencia vem do fato de estarmos trabalhando apenas
com inteiros, entao M<N+1 eh equivalente a M<=N)
isto eh, GANHAR com (9-A,13-B,21-Y) significa PERDER ou EMPATAR com
(A,B,Y); e vice-versa!
Preste atencao: eu separei todas as possibilidades em pares
**igualmente provaveis**, onde eu ganho em uma e apenas uma das duas
hipoteses do par. Em outras palavras: para cada situacao em que eu
ganho, existe uma outra situacao **com exatamente a mesma
probabilidade** onde eu nao ganho.
Entao Pr(eu ganho)=0.5=50% (!!).
--//--
Agora, qual a probabilidade de a gente empatar? O truque agora eh
perceber que minha soma A+B eh um numero entre 2 e 20 (que NAO SAO
igualmente provaveis, mas isto nao vai importar aqui). Finja que eu
jah fiz o meu lancamento. Agora, qual a chance de voce "acertar"
exatamente o meu numero com o seu d20? Ora, nao interessa o que eu
tirei: a chance eh 1/20=5%.
Entao Pr(empate)=0.05=5% (!!!!)
--//--
Enfim, Pr(eu perco)=100%-50%-5%=45%.
--//--
Conclusao: neste jogo, prefiro d8+d12 do que d20. :)
SOLUCAO 2: NO BRACO MESMO, MAS RESOLVE QUALQUER PROBLEMA DESTE TIPO
A pessoa ("eu") que joga os dados de 12 e de 8 vai rolar uma soma X.
Esta soma X pode dar 2, 3, 4, ..., 20.
Agora, soh porque sao 19 valores, nao significa 1/19 para cada!
Supondo que os dados sejam justos e independentes, temos 12.8=96
maneiras IGUALMENTE PROVAVEIS de rola-los. Destas:
-- Apenas 1+1 dah soma 2, entao Pr(X=2)=1/96;
-- Apenas 1+2 e 2+1 dao 3, entao Pr(X=3)=2/96;
-- Apenas 1+3, 2+2 e 3+1 dao 4, entao Pr(X=4)=3/96;
...
Continuando este raciocinio, chegamos aa seguinte tabela de
probabilidades para X:
a: 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pr(X=a): 01 02 03 04 05 06 07 08 08 08 08 08 07 06 05 04 03 02 01
(toda esta linha eh SOBRE 96; note como a soma destes numeros eh 96 de
fato!)
(Obs.: a partir da soma 10 a probabilidade para de subir (jah que nao
dah para tirar 9+1). Depois, do 14 em diante, ela cai; por exemplo,
para 14 temos apenas as possibilidades 2+12, 3+13,..., 8+6, sao 7.)
Agora, se eu tirar 02, eu tenho 1/20 de chance de ganhar (voce teria
de tirar 1); se eu tirar 03, eu tenho 2/20 de chance de ganhar (voce
tiraria 1 ou 2); e assim por diante. Entao:
Pr(eu ganhar)=Pr(eu ganhar com meu 2)+Pr(eu ganhar com meu
3)+...+Pr(eu ganhar com meu 20)=
=Pr(X=2).1/20+Pr(X=3).2/20+Pr(X=4).3/20+...+Pr(X=20).19/20=
=(1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6+7.7+8.8+8.9+8.10+8.11+8.12+7.13+6.14+5.15+4.16+3.17+2.18+1.19)/(96.20)=960/(96.20)=50%
(se voce nao quer fazer esta conta no braco, vah comer mingau quente;
assim, voce aprende a ir das beiradas para dentro, juntando os termos
assim: 1.1+1.19; 2.2+2.18; etc...; esse eh o velho truque do Gauss
quando ele ainda era um fedelho :) :) :) )
Analogamente:
Pr(EU
perder)=(1.18+2.17+3.16+4.15+5.14+6.13+7.12+8.11+8.10+8.9+8.8+8.7+7.6+6.5+5.4+4.3+3.2+2.1)/(96.20)=45%
(e o truque do mingau funciona de novo para acelerar as contas!)
Enfim:
Pr(Empatar)=(1.1+2.1+3.1+...+4.1+3.1+2.1+1.1)/(96.20)=96/(96.20)=1/20=5%
(claro, porque a soma dos numeros daquela tabela tinha que ser 96)
Abraco,
Ralph
2009/12/5 Thiago Tarraf Varella <[email protected]>:
> Bom, esse 'e o meu primeiro e-mail aqui na lista entao vou fazer uma
> apresentacaozinha (meus acentos nesse computador nao funcionam)... Eu me
> chamo Thiago, do nivel 2, do estado de SP, e acho que eh isso...
> Mas vamos direto ao assunto...
>
> Eu fui almocar e no restaurante que fui, tinham 3 geladeiras. A temperatura
> delas variava sempre entre -2 e -5 graus C. Sempre que ele chegava em mais
> ou menos -2,5 , ele acionava algum gerador que fazia com que a temperatura
> dele caisse a -5 graus. E sempre que alguem abria a geladeira, a temperatura
> caia at'e onde o gerador fosse ligado. Sabendo disso, eu propus a minha mae:
> Um garcom, que esta com pressa, precisa que a bebida do cliente gele o mais
> rapidamente. Quando ele bateu o olho, uma geladeira estava a -2,5 graus,
> outra em 3,5 graus e a outra em 5 graus. Qual geladeira ele devera por para
> que gele o mais rapidamente? (leve em considera'cao que ele devera abrir a
> geladeira para por o refrigerante e que a de -2,5 esta ligando o motor. Nao
> se sabe se a 3,5 esta subindo ou descendo).
> --
> Eu estava jogando dados com o meu irmao (ganha quem tira o maior numero), e
> nos temos aqueles dados de RPG: temos um dado de 20, um de 12 e o um de 8.
> Uma pessoa fica com um dado de 20 e outra fica com um de 12 e um de 8.
> Que dados nos teriamos mais chance de ganha? Antes eu pensei assim: O numero
> minimo do dado de 20 'e 1, e o numero minimo do de 12 e de 8 'e 2, entao o
> de 12 e 8 deve ser melhor. Mas depois eu pensei assim: A chance do de 20
> tirar 20 'e de 100/20 enquanto a do 12 e 8 'e de 100/98. Ja a chance do 20
> tirar 19 'e de 100/20, enquanto a do 12 e 8 'e de 100/49...
> Afinal, qual combinacao de dados que 'e melhor?
>
> Desde ja' agradeco
>
>
>
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