2009/6/10 Guilherme Leite Pimentel <[email protected]>: > Olas Oi Guilherme,
> Estou estudando a seguinte funcao: > > f[x,y]=Integral de x a y de ( Exp[+/-Exp[a z]] dz) (sao duas funcoes, > uma para a integral quando se toma sinal de +, outra quando se toma o > sinal de -). a eh um numero real nao nulo. > > Apesar de nao ser integravel, sendo uma funcao analitica eu posso > expandi-la em serie e integrar termo a termo. Bom, aqui realmente dá certo porque a integral ocorre num domínio limitado (o intervalo [x,y] da reta real) e portanto não precisamos nos preocupar com coisas uniformes. Vamos adiante, o seu problema é interessante : > Reescrevendo em termos > da soma e da diferenca, x+y=s e y-x=d vem > > f[s,d]= d + Somatorio(n=1 a infinito) ((+/-1)^n 2 Exp[n a s/2] Sinh[ n > a d/2]/((n a)n!) ) > > Aparentemente para s fixo essa funcao soh tem zero para d=0, apesar de > que eu nao sei provar. Aqui eu não sei se você já está pensando em x, y complexos ou ainda reais. Se forem reais, repare que Exp(n a s/2) é sempre positivo, enquanto Sinh(n a d/2) tem sempre o mesmo sinal de d, portanto a série é monótona, e portanto só terá zero se d=0. > Isso nao me parece muito intuitivo e, se eu > tomar um contorno no plano que seja suficientemente pequeno, (no plano > de d complexo. s esta fixo, eh uma variavel independente agora) a > funcao f vai ter um zero simples em d =0. Acho que aqui você quis dizer "d é uma variável independente", se for o caso, concordo com você. > Se alguem tiver alguma ideia em como provar que soh ha zero em d=0 ou > que eu estou enganado e ha infiinitos zeros, eu agradeco a quaisquer > sugestoes. Bom, eu tive uma idéia, ainda estou longe de te dar uma resposta completa, mas vejamos: A sua função tem um "fator" (exceto pelo termo d inicial) que é Sinh( n a d/2). Como você sabe, a função exponencial é periódica no plano complexo : exp(2 pi i) = 1. Portanto, se você tomar ad/2 um múltiplo inteiro de 2 pi i, você terá apenas o termo d que sobra, o resto todo sendo "comido" pelo sinh, que também é 2pi i periódico (soma/diferença de periódicos de mesmo período é ... pelo menos). Portanto, isso te dá uma função (de s,d) que vale exatamente d para d no eixo dos números complexos, múltiplo de 4pi/a i. Agora, eu chutaria (mas não tenho tanta certeza assim) que isso praticamente te determina a integral que você quer. > atenciosamente > guilherme pimentel Um abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
