> A propósito, sendo a>0 por quê, quando n cresce indefinidamente, a^1/n tende
> a
1?
A forma mais facil de ver isto eh, talvez, observando que como a funcao
exponencial e continula e 1/n --> 0 quando n --> oo, então a^(1/n) --> a^0 = 1.
Mas uma outra forma de ver isto, que pode ser feita antes de se estudar
continuidade, é utilizando a desigualdade de Bernouille, ao menos em sua forma
valida para inteiros positivos.
Suponhamos, inicialmente, que a > 1. Então para todo n, a^(1/n) > 1. Assim,
a^(1/n) = 1 + b_n, com b_n > 0. Segue-se que
(1 + b_n)^n = a
Pela desigualdade de Bernouille, (1 + b_n)^n >= 1 + n b_n. Assim, combinando
com a desigualdade anterior,
1 <= 1 + n b_n <= a
0 <= b_n <= a/n
Como a/n --> 0, segue-se, por confronto, que b_n --> 0. E como a^(1/n) = 1 +
b_n, isto implica que a^(1/n) --> 0
Se a = 1, a conclusao eh trivial. Se 0 < a < 1, entao a = 1/b para b > 1.
Assim, a^(1/n) = 1/(b^(1/n)). Pela conclusao anterior, a^(1/n) --> 1/1 = 1
Artur
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