Olá a todos os colegas da lista OBM. Muito bom que voltemos a priorizar as discussões de problemas olímpicos nessa lista.Uma prática que tínhamos era a discussão quase que imediata dos problemas da terceira fase da OBM, infelizmente essa prática feneceu nos últimos anos. Talvez este seja o momento de retomá-la. Acho que todos por aqui já trabalharam nos problemas dessa prova de 2008, particularmente o problema 01 [ Vamos chamar de garboso o número que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua representação decimal são 2008. Por exemplo, 7 é garboso pois 200858 é múltiplo de 7 e começa com 2008.Observe que 200858=28694x7. Mostre que todos os inteiros positivos são garbosos.]
Considerei essa uma excelente questão para abrir a prova da terceira fase. É claro que os alunos que recebem treinamento sofisticado conheciam um problema muito semelhante que propicia solução imediata ( problema proposto em 1991 ). Felizmente esse problema proporciona uma oportunidade àqueles que não tem acesso a esses treinamentos sofisticados e são bastante inteligentes para encontrar uma solução no momento da prova. Além dessa virtude esse lindo problema permite uma abordagem suficientemente simples que pode ser levada para a maioria dos alunos que gostam de matemática. Bem a primeira pergunta é: como o exemplo foi descoberto? Acho que tenho uma resposta. Um fato simples e acessível a todos os alunos é o seguinte: dados dois inteiros e consecutivos, um deles é par; dados três inteiros e consecutivos um deles (exatamente um deles ) é divisível por três. É claro que podemos provar essa afirmação para quaisquer k inteiros e consecutivos ( e não precisa falar nada de sistema completo de resíduos modk ! ). Pois essa é a chave do problema. Qual é o menor número natural que começa com 2008 e é divisível por 7? Basta escrever 7 inteiros consecutivos começando com 2008 assim: 20081, 20082, 20083, 20084,20085, 20086,20087 e verificar qual deles é divisível por 7. É mais fácil tomar 20081, dividir por 7 e olhar para o resto, o resto é 5, 5 para 7 faltam 2, o número é 20083=2869x7. Aí está. No caso proposto seja N o número ( no lugar do 7 ), basta escrever a seqüência: 2008000.......1, ....................., 2008N. Aqui estão N inteiros e consecutivos, um deles é divisível por N. Bem vejam se concordam com o argumento acima. Seria excelente que todos os problemas fossem aqui discutidos. Um abraço do colega Jayro Bedoff.
