O problema:
Sobre uma reta há um conjunto S de 6n pontos. Destes, 4n são escolhidos ao
acaso e pintados de azul; os 2n demais são pintados de verde. Prove que existe
um segmento que contém exatamente 3n pontos de S, sendo 2n pintados de azul e n
pintados de verde.
Vamos imaginar que estamos olhando para os 3n pontos mais à esquerda, destes x
são azuis e y são verdes.É claro que x + y = 3n . As únicas possibilidades para
o par (x , y ) nessa condição é: x=0(mód 3) e y=0(mód 3) ou x=1(mód 3) e y=2
(mód 3) ou x=2 (mód 3) e y=1 (mód 3).
Agora estudemos a quantidade x - 2y ( x é o número de bolas azuis e y é o
número de bolas verdes ) imaginando que vamos "movendo" o segmento de 3n bolas
para à direita até atingir a extremidade oposta com 3n bolas. A cada passo
deixamos uma bola para trás e incluímos a bola imediatamente à direita. Podemos
ter:
i) a bola que sai tem a mesma cor que a bola que entra
Nesse caso a quantidade x - 2 y permanece invariável.
ii) as bolas têm cores diferentes, podemos ter:
x - 2 y muda para ( x - 1 ) - 2 ( y + 1 ) = ( x - 2y ) - 3
x - 2 y muda para ( x + 1 ) -2 ( y - 1 ) = (x -2 y ) + 3.
Em qualquer caso a quantidade x -2y sofre uma variação de 3 unidades.
Na extremidade oposta encontraremos para a quantidade
x -2 y o valor (4n - x ) -2 ( 2n - y )= - ( x - 2y ), o oposto do valor inicial.
Assim nossa quantidade inicia com uma valor múltiplo de 3, a cada passo varia
de 3 unidades e atinge o oposto do valor inicial. Certamente em algum momento
assumiu o valor zero, isto é, x = 2y . Que é o que se pediu para provar.
Um abraço do colega
Tarso de Moura Leitão
