Caro Bouskela (e colegas da lista), uma forma facil de se descobrir um problema numa solucao qualquer, seria testar se a envoltoria obtida implica em tangentes que, quando limitadas pelos "trilhos" da porta deslizante, geram segmentos com comprimento 1. Isso deve ser valido para toda a excursao da porta, obviamente. Na solucao abaixo, eu apresento isso ao final. Nao precisaria de tanto, mas serve para dissipar qualquer duvida que alguem possa ter sobre o caminho que utilizei.
Apresentando novamente o "DESAFIO": Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do tamanho da parede, ou seja, L. Portanto uma das paredes e' so' a porta. Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto A da mesma segue em linha reta pelo segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto, quando ela abre, ela varre certa area de dentro da sala. Qual o valor dessa area? =========================================================== SOLUCAO: Para simplificar a notacao, vamos calcular tudo como se L fosse unitario, de modo que ao final, a area devera' ser escalada "de volta", para obtermos o valor correto. Entao, vamos imaginar que a porta MN, com comprimento 1, "deslize" sobre os eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical (alinhada com Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, uma das suas extremidades "M", apoiada em Y, comeca em y=1 e desliza ate' y=0, enquanto a outra extremidade "N", apoiada em X, comeca em x=0 e desliza ate' x=1. Suponhamos entao que, num determinado momento, M esteja no ponto A=(0,y), e que N esteja no ponto B=(x,0). Um instante depois, ela estara' com M no ponto C=(0,y+dy) enquanto N estara' em D=(x+dx,0). Seja "P" = (x_P,y_P) a intersecao entre os dois segmentos, de forma que y_P e' a altura do triangulo PBD. Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos sucessivos triangulos PBD, obtidos 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, as nossas "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "y_P". Partindo para as contas... A qualquer instante, as coordenadas variaveis das extremidades da porta (x=x_M e y=y_M )obedecem 'a equacao x**2 + y**2 = 1 Diferenciando-se, obtemos -dy / dx = x / y Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: CP / sinA = -dy / sinP PD / sinB = dx / sinP Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que sinB/sinA = y/x, vem: CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y ou seja, CP/PD = x**2 / y**2 Assim, (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 ou PD = y**2 Mas , por semelhanca de triangulos, y_P/PD = (y+dy)/1 Como "dy" e' infinitesimal, y_P/PD = y Assim, y_P = y**3 = (1-x**2) ** (3/2) Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) em x=[0,1], ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. Resolvendo-se a integral, obtemos Area varrida = 3*Pi / 32 = 0.294524 Como na verdade a porta tem comprimento "L", devemos escalar a area varrida, de forma que a resposta e' AREA VARRIDA = 3/32 * Pi * L**2 que vale aproximadamente 0.294524 * L**2 []'s Rogerio Ponce OBSERVACAO: Nesta solucao nao foi necessario nos preocuparmos com a envoltoria das posicoes sucessivas de nossa porta. Entretanto, ela e' percorrida exatamente pelo ponto P, cuja coordenada em Y e' y_P = y**3 Por simetria, e' facil ver que x_P = x**3 Assim, usando a relacao x**2 + y**2 = 1 , obtemos a equacao da envoltoria: x_P**(2/3) + y_P**(2/3) = 1 Ou seja, y_P = [1 - x_P**(2/3)]**(3/2) Neste ponto poderiamos calcular novamente a integral de y_P*dx_P no intervalo [0,1], e obteriamos... o mesmo valor ja' calculada anteriormente. (claro que eu ja' conferi isso, ne'...) Mas poderiamos fazer mais. Sera' que realmente essa curva corresponde 'a envoltoria? Para tanto, seria necessario que as tangentes a essa curva, por qualquer ponto, tivessem sempre o comprimento de 1, quando limitadas pelos eixos X e Y. Vejamos entao: Seja o ponto x0,y0 pertencente 'a curva definida por x**(2/3) + y**(2/3) = 1 Assim, -dy0/dx0 = [y0/x0]**(1/3) Para uma reta y = a*x + b , o comprimento delimitado pelos eixos X e Y sera' C = sqrt[b**2 + (b/a)**2] , ou seja, C = |b/a| * sqrt[1 + a**2] No nosso caso, a = dy0/dx0 = -[y0/x0]**(1/3) b = y0 - a*x0 = y0 + x0 * [y0/x0]**(1/3) Desse modo, como x0 e y0 sao positivos, temos C = [y0 * [x0/y0]**(1/3) + x0 ] * sqrt[1 + (y0/x0)**(2/3)] C = [y0 * [x0/y0]**(1/3) + x0 ] * sqrt[x0**(2/3) + y0**(2/3)] / x0**(1/3) Como essa raiz quadrada vale 1, a expressao toda se reduz a C = [y0 * [x0/y0]**(1/3) + x0 ] / x0**(1/3) C = y0**(2/3) + x0**(2/3) = 1 Portanto, a curva definida por x**(2/3) + y**(2/3) e' de fato a envoltoria procurada, confirmando tudo o que ja' haviamos calculado anteriormente. []'s Rogerio Ponce. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
