Olá Bouskela e colegas da lista, eu esperava uma solucao um pouco mais "geometrica" que "analitica", mas como ninguem se manifestou, vamos la'...
Vamos imaginar que a porta, com comprimento 1, "deslize" sobre os eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical (alinhada com Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, uma das suas extremidades "PY", apoiada em Y, comeca em y=1 e desliza ate' y=0, enquanto a outra extremidade "PX", apoiada em X, comeca em x=0 e desliza ate' x=1. Suponhamos entao que, num determinado momento, PY esteja no ponto A=(0,y), e que PX esteja no ponto B=(x,0). Um instante depois, ela estara' com PY no ponto C=(0,y+dy) enquanto PX estara' em D=(x+dx,0) Chamemos de P a intersecao entre os dois segmentos, e seja "h" a sua coordenada em Y (altura do triangulo PBD). Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos sucessivos triangulos PBD, 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, as nossas "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "h". Partindo para as contas... A qualquer instante, as coordenadas variaveis de P_X e P_Y obedecem a x**2 + y**2 = 1 Diferenciando-se, obtemos -dy / dx = x / y Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: CP / sinA = -dy / sinP PD / sinB = dx / sinP Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que sinB/sinC = y/x, vem: CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y ou seja, CP/PD = x**2 / y**2 Assim, (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 ou PD = y**2 Mas , por semelhanca de triangulos, h/PD = y/1 Assim, h = y**3 = (1-x**2) ** (3/2) Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) em x=[0,1], ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. Resolvendo-se a integral, obtemos AREA VARRIDA = 3*Pi / 32 = 0.294524 []'s Rogerio Ponce 2008/9/17 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > O PROBLEMA DA VARREDURA DA SALA – SOLUÇÃO DEFINITIVA > > > > Bem, já que esta questão foi o desafio da EAF – ITA (Escola Avançada de > Física), no ano de 2006, resolvi me encher de paciência e resolvê-la sem > aproximações e sem a ajuda (explícita) do MAPLE. Lá vai: > > > > ENUNCIADO: > > > > Considere uma sala quadrada de lado "L". Em um dos lados, existe uma porta > do tamanho da parede, ou seja, "L". Portanto, uma das paredes é só a porta. > Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a tal porta. Essa > porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto "A" da mesma segue em > linha reta pelo segmento AB, enquanto que o ponto "B" segue, de forma também > retilínea, pelo segmento BC. Portanto, quando a porta se abre totalmente, > ela varre certa área de dentro da sala. Qual o valor dessa área? > > > > SOLUÇÃO: > > > > Considerações iniciais: > > > > 1) Todas as distâncias são proporcionais a "L" e todas as áreas são > proporcionais a L^2 ; > > 2) Assim, vou assumir L=1 unidade de comprimento; > > 3) Como, obviamente, o cálculo da área (a incógnita do problema) vai > requerer uma integração, vou colocar o problema em eixos cartesianos "X" e > "Y". > > > > Definição do quadrado em coordenadas cartesianas: > > > > D = O = (0, 0) ; A = (1, 0) ; B = (1, 1) ; C = (0, 1) > > > > A extremidade "F" da porta sai de "A" e vai até "B", percorrendo a reta x=1 > ; > > A extremidade "E" da porta sai de "B" e vai até "C", percorrendo a reta y=1 > . > > > > Evidentemente, EF=1 > > > > A área que a porta varre é delimitada pelas retas x=1 e y=1 e pela > seguinte curva: > > > > Seja uma reta perpendicular à reta EF, passando por "O". Esta reta > intercepta a reta EF no ponto "P". O lugar geométrico de "P" é a curva que > delimita a varredura da porta. > > > > O problema se resume, então, em achar a equação desta curva... > > > > T = ângulo AOP > > > > Pontos singulares: > > Para T=PI/4 , OP é mín. > > OP (T=PI/4) = sqrt(2) – 1/2 . Caso OP(mín.) fosse igual a 1 , a curva > supracitada seria um círculo... > > OP (T=0) = OP (T=PI/2) = 1 > > > > Seja "a" o deslocamento da porta ao longo do segmento AB (reta x=1). > > a = AF ; FB = 1 – a ; BE = sqrt(2a – a^2) > > > > Seja "Q" a projeção de "P" no eixo "X". > > > > É fácil ver que: ângulo BFE = ângulo AOP = T ; cos(T) = 1 – a (triângulo > FBE) > > Os triângulos OQP e FBE são semelhantes. > > > > FB = cos (T) = 1 – a ; BE = sin(T) = sqrt(2a – a^2) > > > > Daí (fazendo algumas contas): OP = sin(T) + sin(T)cos(T) – cos(T) > > > > E esta é a tão procurada equação da curva que delimita a área varrida pela > porta! > > E, de fato, verifica-se que: OP (T=PI/4) = sqrt(2) – 1/2 ; OP (T=0) = OP > (T=PI/2) = 1 > > > > Uma área infinitesimal (dS), DENTRO da curva, i.e., voltada para "O", é > definida por: > > dS = (OP^2)/2 dT > > Logo: S = integral [ (OP^2)/2 dT , T=0 ... PI/2 ] > > S = 9PI/32 – 1/6 = 0.7169 > > > > Finalmente, a área de varredura da porta é: > > > > 1 – 0.7169 = 0.2831 = 28.31% da área do quadrado = 28.31% de L^2 > > > > Sds., > > AB > > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > ________________________________ > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome > de João Júnior > Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 21:04 > Para: [email protected] > Assunto: Re: [obm-l] Varredura da sala... > Essa questão foi o desafio da EAF - ITA (Escola Avançada de Física) no ano > de 2006. Lembro-me da correria da galera para resolvê-la na noite do dia em > que a recebemos. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
