Luiz:
Eu já elucidei esta dúvida! Veja minha mensagem O Conectivo Lógico SE...,
ENTÃO..., postada por mim em 4.SET.2008 (está também copiada abaixo).
Em síntese, deve-se saber se ser nada é um atributo próprio do elemento
x, ou, como você diz, se ser nenhum elemento é um atributo próprio (e
logicamente possível) do elemento x. E a reposta é NÃO! Porque, caso fosse
SIM, acarretaria uma proposição auto-contraditória: x é um elemento (no
âmbito da Lógica Clássica, qualquer coisa é um elemento de algum(ns)
conjunto(s)) E (conectivo lógico ^) x é nenhum elemento .. claramente
uma proposição auto-contraditória.
As proposições auto-contraditórias foram eliminadas da Lógica Clássica para
evitar paradoxos tais como o de Bertrand Russell (O Barbeiro de Sevilha -
1901):
Em Sevilha, todos os homens não têm (usam) barba! I.e., todos os homens
fazem a barba!
Há em Sevilha um único barbeiro que reúne as duas condições seguintes:
1) faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba de si
próprias; E
2) só faz a barba de quem não faz a barba de si próprio.
O paradoxo surge quando se tenta saber se o desventurado barbeiro faz a
barba de si próprio ou não. Se fizer a barba de si próprio, não pode fazer a
barba de si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba
de si próprio, então tem de fazer a barba de si próprio, pois essa é a
condição 1 para que ele se decida a desempenhar o seu ofício.
Veja, em sites da Internet, a formulação matemática (Teoria dos Conjuntos)
do paradoxo de Russell.
Paradoxos, tais como o de Russell, são decorrentes de que em diversas
teorias dedutíveis (inclusive as matemáticas) o Conjunto Universo (U) é
objeto (elemento) de si próprio. P.ex., na Geometria Euclidiana Plana, o
próprio plano é o Conjunto Universo e é, também, objeto (elemento) de si
próprio.
Isto acarreta paradoxos tais como o de Roger Penrose (Paradoxo da
Biblioteca):
Em uma Biblioteca existem somente livros. Foram escritos mais 2 livros para
fazerem parte desta Biblioteca: em um deles foi escrita a lista de TODOS os
livros que fazem referência a si próprios (livro 1); no outro, foi escrita a
lista de TODOS os livros que NÃO fazem referência a si próprios (livro 2).
Em qual dos dois livros deve aparecer (constar) o livro 2?
Você mesmo pode ver que a resposta a esta pergunta é auto-contraditória: não
pode ser no livro 1 (pois não há, no livro 2, referência a si próprio);
também não pode ser no livro 2, pois aí, no livro 2, haveria uma referência
a si próprio!
O porquê deste paradoxo: o Conjunto Universo (refiro-me a lista de todos
os seus elementos) desta Biblioteca é a UNIÃO dos livros 1 e 2. Entretanto,
estes mesmos 2 livros são elementos (fazem parte) da Biblioteca (i.e., do
Conjunto Universo)!
E por aí vai...
Questões tais como estas só devem preocupar a mente daqueles malucos que já
estudaram um bom bocado Lógica Matemática. Não perca seu tempo com elas!
Agora, leia ATÉ O FINAL a mensagem abaixo! E preste bastante atenção para o
fato de que as proposições básicas (P e Q) devem ser decidíveis! Pelo menos
até o Gödel aparecer...
O Conectivo Lógico SE..., ENTÃO... 4.SET.2008
LEIAM ATÉ O FINAL!
Um dos problemas passados desta Lista tratava de analisar se era verdadeira
ou falsa a seguinte proposição:
SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde.
E isto não é tão simples! Leiam até o final!
Inicialmente, acho que, nas respostas a este problema, houve uma discussão
desnecessária, que incluiu a chamada 'hipótese vazia' ou 'vacuidade'.
Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do tipo
P=>Q (SE 'P' ENTÃO 'Q') , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição
P=>Q é sempre 1 (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo
lógico 'se... então...' (=>). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte
tabela-verdade:
P Q P=>Q
0 1 1
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem humana,
que não é, formal e necessariamente, lógica.
Em síntese, quer dizer o seguinte: partindo-se de uma hipótese falsa,
pode-se (deve-se) concluir que qualquer proposição (falsa ou verdadeira)
seja verdadeira. Exemplos:
'SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Presidente do
Brasil' ... 1 (proposição verdadeira).
'SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Imperador do Japão'
.. 1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é mesmo o
Imperador do Japão...).
'SE 0=2 , ENTÃO 3=5' ... 1 (proposição verdadeira, e facilmente
'demonstrável')
0=2 => 0+3=2+3 => 3=5
'SE 0=2 , ENTÃO 0=4' ... 1 (outra proposição verdadeira, e facilmente
'demonstrável')
0=2 => 0+2=2+2 => 0+2(=0) = 4 => 0=4
Bem, o que interessa é que SE (P)=0, ENTÃO (P=>Q)=1.
A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma
proposição lógica equivalente, que seja mais 'palatável' à linguagem humana.
Por exemplo: (~PvQ) (~=NÃO ; v=OU). Vejam as respectivas tabelas-verdade:
P Q P=>Q ~P Q ~PvQ
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1
1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
Assim: (P=>Q) = (~PvQ) , porque têm tabelas-verdade idênticas.
E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira (LEIAM ATÉ O FINAL!):
SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde.
É equivalente à proposição:
'x' NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU 'x' é verde.
P [ 'x' NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por
DEFINIÇÃO, o conectivo 'v' (OU) exige, para ser 1, que PELO MENOS uma das
proposições (dentre P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ 'x' NÃO pertence ao
{ } (conjunto vazio) OU 'x' é verde ] é 1, qualquer que seja Q [ 'x' é verde
]. Q pode ser 1 ou 0.
É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo 'v' (OU) é também compatível com a
linguagem humana.
IMPORTANTE:
A dificuldade que se tem para se admitir como verdadeira qualquer proposição
do tipo P=>Q , na qual P é 0 (e Q é 0 ou 1), está no fato de pensar (achar)
que se afirma (se prova) que Q seja 1 , e isto não é verdade! O que se
afirma é que a proposição P=>Q é verdadeira e, não, a proposição Q.
Então, posso perguntar: Provou-se que é verdadeira a proposição 'SE 'x'
pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde'? E a resposta é:
DEPENDE!!!
Sim, depende!
Toda a argumentação que apresentei baseia-se na admissão de uma hipótese
(implícita) fundamental: as proposições básicas (P e Q) devem ser DECIDÍVEIS
(i.e., DEVE ser possível saber se são verdadeiras ou - este 'ou' é exclusivo
- falsas)! Esta hipótese é necessária para todas as análises no âmbito da
Lógica Clássica, na qual se baseia a Teoria dos Conjuntos (antes de Gödel;
depois de Gödel, não vou analisar aqui).
Exemplo:
Não é possível concluir se é verdadeira ou falsa a seguinte proposição:
'SE o meu cachorro pesa 10.000 tons, ENTÃO o número de fios de cabelo que eu
tinha, em 2.SET.2000, na cabeça é par' (P é 0 e Q é indecidível). UMA
PROPOSIÇÃO DESTE TIPO NÃO FAZ PARTE DO UNIVERSO DE ANÁLISE DA LÓGICA
CLÁSSICA!
Voltando à proposição:
SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde.
Para afirmar que esta proposição é verdadeira, é necessário admitir que se
possa DECIDIR (saber) se 'x' pode ser verde, ou não. I.e., ter cor DEVE ser
um dos atributos de 'x'! Implicitamente, 'x' parece ser uma variável
numérica e, portanto, não tem o atributo 'cor'.
Não estou dizendo com isto que x deve (precisa) ser verde ou branco ou...!
Estou simplesmente dizendo que x deve ser uma coisa, i.e. um elemento de
um conjunto, tal que os elementos deste conjunto tenham cor. P.ex., x
pode ser uma caneta, uma folha de papel, um livro...; mas x NÃO pode ser
um número, um software, uma incógnita de um problema numérico...
Um exemplo melhor:
SE o meu cachorro pesa 10.000 tons, ENTÃO minha casa é gorda.
Ser 'gorda' (ou 'magra') não é um atributo lógico do elemento 'casa'. E,
assim, o exemplo dado não pode ser analisado no âmbito da Lógica Clássica.
Concluindo, a proposição original ficaria melhor, e indubitavelmente
verdadeira, se fosse escrita assim:
SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é múltiplo de 213.
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
>-----Mensagem original-----
>De: [EMAIL PROTECTED]
>[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Luiz Rodrigues
>Enviada em: sexta-feira, 5 de setembro de 2008 10:54
>Para: [email protected]
>Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
>
>Olá pessoal!!!
>Muito obrigado pelas respostas.
>Como eu já imaginava, o meu aluno achou tudo muito estranho.
>Ele não se convenceu com nenhum dos argumentos que vocês me forneceram.
>No Ensino Médio do Brasil, com exceções, não há muita
>preocupação com este tipo de discussão.
>Uma coisa que eu andei pensando...
>E se a sentença fosse
>
>"x pertence { } -> x é "nada""
>
>Onde "nada" não é um conjunto de símbolos sem significado e
>sim uma palavra que significa, por exemplo, "nenhum elemento".
>Eu não estaria alterando a "falsidade" de "x pertence { }"???
>Peço desculpas pela insistência, mas Lógica nunca foi meu
>ponto forte...
>Aliás, alguém conhece um bom título de Lógica para iniciantes???
>Abração para todos!!!
>Luiz.
>
>
>2008/9/4 Albert Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>:
>> Olá Rafael,
>>
>> Como você perguntou "O que vocês acham?", vou responder:
>>
>> Particularmente, acho que está havendo uma discussão desnecessária:
>> incluindo a chamada "hipótese vazia" ou "vacuidade".
>>
>> Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do
>> tipo
>> P->Q , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição é sempre 1
>> (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo
>lógico "se...
>> então..." (->). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte
>tabela verdade:
>>
>> P Q P->Q
>> 0 1 1
>> 0 0 1
>> 1 0 0
>> 1 1 1
>>
>> Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem
>> humana, que não é, formal e necessariamente, lógica. Exemplos:
>>
>> "SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é)
>Presidente do Brasil"
>> ... 1 (proposição verdadeira).
>> "SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é)
>Imperador do Japão"
>> ... 1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é
>> mesmo o Imperador do Japão...).
>>
>> Bem, o que interessa é que SE P=0, ENTÃO (P->Q)=1.
>>
>> A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma
>> proposição lógica equivalente, que seja mais "palatável" à
>linguagem humana.
>> Por exemplo: "~PvQ" (~=NÃO ; v=OU). Vejamos as tabelas-verdade:
>>
>> P Q P->Q ~P Q ~PvQ
>> 0 1 1 1 1 1
>> 0 0 1 1 0 1
>> 1 0 0 0 0 0
>> 1 1 1 0 1 1
>>
>> Assim: "P->Q" = "~PvQ"
>>
>> E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira:
>> SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.
>> É equivalente à proposição:
>> "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde.
>> P [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por
>> DEFINIÇÃO, o conectivo v (OU) exige, para ser 1, que APENAS uma das
>> proposições (dentre P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ "x" NÃO
>> pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde ] é 1, qualquer que
>> seja Q [ "x" é verde ]. Q pode ser 1 ou 0.
>>
>> É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo v (OU) é também
>compatível com a
>> linguagem humana.
>> AB
>> [EMAIL PROTECTED]
>>
>>
>> ________________________________
>> Date: Wed, 3 Sep 2008 20:36:17 +0200
>> From: [EMAIL PROTECTED]
>> To: [email protected]
>> Subject: Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
>>
>> Eu acho que faz sentido que seja verdadeiro...
>>
>> Olha só, um exemplo mais matemático... se eu disser: "Todo quadrado
>> perfeito negativo é multiplo de 7", eu diria que a afirmação é
>> verdadeira. Acho que muitos concordariam que é verdadeira. É
>simples,
>> é uma daquelas afirmações verdadeiras por vacuidade... Se a
>hipótese é vazia, o teorema é verdadeiro.
>> De fato, todos os quadrados perfeitos negativos que eu conheço são
>> multiplos de 7... :D
>>
>> Naturalmente, se eu disser então: "Se x é um quadrado perfeito
>> negativo, então x é multiplo de 7" (note o quão semelhante a minha
>> afirmação e a sua no primeiro email são), seria ilógico que
>essa fosse
>> falsa... certo? afinal, as duas afirmações são semanticamente
>> iguais... (discutível isso? talvez...)
>>
>> O que vcs acham?
>>
>> 2008/9/3 LEANDRO L RECOVA <[EMAIL PROTECTED]>
>>
>> No meu ponto de vista, se { } representasse o conjunto vazio eu
>> consideraria falsa.
>>
>>
>> From: "Luiz Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]>
>> Reply-To: [email protected]
>> To: [email protected]
>> Subject: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
>> Date: Wed, 3 Sep 2008 14:00:02 -0300
>>
>> Olá pessoal!!!
>> Tudo bem???
>> Um aluno me apresentou uma senteça que, segundo um outro
>professor, é
>> verdadeira.
>> A sentença é:
>>
>> "x pertence { } -> x é verde"
>>
>> Na minha opinião, esta sentença é falsa, porque "x pertence
>{ }" é falsa.
>> Segundo o meu aluno, o que o outro professor alegou é que "x
>pode ser
>> qualquer coisa".
>> O que vocês acham???
>> Muito obrigado!!!
>> Abração para todos!!!
>> Luiz.
>>
>>
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>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>> --
>> Rafael
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