Para se provar que a função é sobrejetiva, deve-se mostar que todo y do
contradomínio (CD) é imagem de algum x do domínio (D). Quando ele "isola o x"
na expressão x=(y+1)/(y-1), a intenção é justamente fazer isso. Com essa
expressão, fica fácil ver que, para todo y real, excetuando-se o 1, haverá um x
correspondente. Escolha, por exemplo, y=0. Tem-se x=-1. Isso mostrou que y=0 é
imagem de algum x (mostrou até mais, mostrou que ele é imagem do x=-1).
Então, o conjunto imagem da função dada é |R - {1}. Como o CD definido para a
função coincide com o conjunto imagem, essa função é sobrejetiva.
Um detalhe: a expressão x=(y+1)/(y-1), não é, como você disse, a FUNÇÃO inversa
de f(x). Ela é apenas a expressão que permite calcular o valor da variável
independente, dado o valor de sua imagem pela função f. Não sabemos ainda se
essa função possui inversa, pois ainda não sabemos se ela é bijetiva (falta
mostrar a injetividade).
Caso ela seja injetiva também, aí sim ela possuirá uma inversa, e essa inversa
será f*: R - {1} --> R - {1} / x = f*(y) = (y+1)/(y-1).
Espero ter sido claro e esclarecido sua dúvida.
Um abraço,
João Luís.
----- Original Message -----
From: ruy de oliveira souza
To: [email protected]
Sent: Saturday, August 16, 2008 2:48 PM
Subject: [obm-l] Função sobrejetiva...
Uma questão do Ita de 2005 tem o seguinte enunciado...Seja
f:lR-{1}---->lR-{1}, definida por f(x)=(x+1)/(x-1). Um dos itens questiona se
ela é sobrejetiva ou não. Dá pra se provar facilmente fazendo o gráfico que ela
é. Pode-se também calcular os limites da função fazendo x tender a mais e menos
infinito, além dos limites laterais quando x tende a 1. O que me chama a
atenção nessa questão foi a resolução feita por um cursinho famoso de SP.
Gostaria de saber se vocês concordam com essa resolução que está na internet.
Eles resolvem da seguinte maneira: fazem f(x)=y. Dai tem a equação
y=(x+1)/(x-1). Isolam x e obtem x=(y+1)/(y-1). Argumentam que para todo y
pertencente a lR-{1} existe x pertencente a lR-{1} tal que y=f(x). Mas isso é a
função inversa, obtida a partir do fato de se saber que a função é bijetora. Ou
seja, posso fazer dessa maneira se souber de antemão se ela é bijetora. Então ,
na verdade não estou provando sobrejetividade alguma. O que vocês acham?
Corrijam-me se eu estiver enganado.
Abraços
