Olá! Há dias (ou semanas, não me lembro) atrás, enviei para este fórum um artigo que escrevi. Enviei-o, também, para alguns amigos da academia e obtive deles um bom retorno: correções (não muitas), contribuições (algumas) e, até, elogios> Estes, talvez - posso admitir - em nome da boa educação e da amizade.
Entretanto, a partir deste fórum, nada me foi dito, sequer que o tal artigo era mesmo uma porcaria e não merecia nem comentários - é possível... Aliás, nem vi aqui o próprio artigo... Bem, como sou otimista, vou admitir uma segunda hipótese: o artigo foi encaminhado para este fórum através de meu endereço no Gmail, que, para este tipo de fórum (que utiliza listas de distribuição), não é muito confiável. Por isso, decidi submetê-lo novamente mediante outro endereço (do MSN). Trata-se de um artigo que procura divertir os seus leitores e, não, instruí-los. Espero que gostem! Saudações, AB O Problema Perfeito Reconheço: sou um prisioneiro do controverso Axioma da Escolha [1] (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1904). Este axioma é, para mim, uma espada de Dâmocles. Sempre busco ordenar as listas dos eventos relacionados às principais áreas da minha simpatia ou interesse: os 10 (ou 100) melhores livros, filmes, peças de teatro, obras de engenharia, partidas de xadrez, mulheres bonitas, desportistas etc. Mais particularmente, o foco da minha procura recai, de forma inexorável, na identificação do primeiro evento, daquele que suplanta todos os outros, do que é, absolutamente, irretocável, do que é perfeito! Chego a acreditar que esta investigação compulsiva do elemento mais notável de cada conjunto seja mesmo uma característica inerente à natureza humana. Pode ser ela que traduza o conceito de Deus - o melhor dos homens -, da imortalidade - a maior das vidas -, do infinito - a grandeza ilimitada -, e, assim por diante, mostrando que a primeira posição da lista é inalcançável pelos demais elementos do conjunto, e nunca será superada! Na Matemática, continuo a ser uma vítima de Zermelo. A exemplo dos surfistas, que vagueiam pelos mares do mundo, numa procura infindável da onda perfeita, eu fico insistindo em achar o problema que seja, indubitavelmente, também perfeito. Aquele problema que consiga reunir toda a essência da Matemática e que, em torno dele, orbitem todas as demais questões. Ainda não o encontrei! Mas já fiz dois avanços significativos! O primeiro deles é escrever este artigo, na esperança de que matemáticos mais iluminados, ao distraírem-se com a sua leitura, me ajudem a alcançar esse santo graal, pois, tal como Diógenes, minha única ferramenta para percebê-lo é uma lanterna de alcance muito curto. O segundo avanço: Bem, o segundo avanço é uma tremenda ousadia: vou apresentar - para fomentar a discussão - uma lista ordenada de 7 problemas (não tenho nenhuma justificativa plausível para a escolha deste número, 7, a não ser a Cabala). Esta lista pode ser modificada, de todas as maneiras, pelos leitores deste artigo: ser aumentada ou diminuída, ter a sua própria ordenação alterada, ser reescrita... Peço apenas que, por respeito aos verdadeiros autores dos problemas - todos grandes, enormes, matemáticos -, ela não seja rasgada ou considerada sem valia. 7º Problema: O Último Teorema de Fermat Formulado em meados do século XVII, e demonstrado somente na década final do século XX (após mais de 300 anos!), pelo matemático britânico Andrew Wiles, o chamado Último Teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de números inteiros e positivos "x", "y", "z" e "n" (n>2) que satisfaça a equação x^n + y^n = z^n . Este é um dos mais célebres teoremas da Teoria dos Números. Seu nome se deve ao matemático (diletante) francês Pierre de Fermat (1601-1665), que, pitoresca e petulantemente, escreveu nas margens de uma tradução do livro Aritmética de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema: "Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa para isto, mas esta margem é pequena demais para escrevê-la". 6º Problema: A Conjectura de Catalan Quase tão famosa quanto o Último Teorema de Fermat, a Conjectura de Catalan, lançada em 1844 pelo matemático belga Eugène Charles Catalan (1814-1894), propõe que 8 (23) e 9 (32) sejam as duas únicas potências inteiras e consecutivas (excetuando, é claro, 0 e 1) - incrível! Matematicamente, a Conjectura de Catalan pode ser escrita da seguinte forma: 32 e 23 constituem, respectivamente, a única solução da equação x^p - y^q = 1 , sendo "x", "y", "p" e "q" números naturais e maiores que 1 . A Conjectura de Catalan resistiu incólume por mais de 150 anos, até ser provada, em 2002, pelo matemático alemão (nascido na Romênia) Preda Mihailescu. 5º Problema: A Identidade de Euler Considerada a mais bela de todas as equações matemáticas, esta identidade foi publicada em 1748 pelo matemático e físico suíço Leonhard Paul Euler (1707-1783), seguramente, no seu tempo, um dos mais ilustres expoentes da Ciência. Essa equação é, de fato, singular e notável! Sua grande beleza está em mostrar, com uma simplicidade peculiar, como se relacionam os cinco números de maior destaque da Matemática: "e", "i", "pi", "1" e "0": e^(i*pi) + 1 = 0 . 4º Problema: O Teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos, um dos filósofos e matemáticos gregos da mais alta reputação, viveu entre aproximadamente 570 a.C. e 500 a.C. É bastante provável que o teorema que traz o seu nome seja o de maior aplicabilidade prática dentre os teoremas da Matemática e, por conseguinte, talvez seja também o mais conhecido. Base de toda a Geometria, o Teorema de Pitágoras estabelece uma relação simples entre o comprimento da hipotenusa e o dos catetos de um triângulo retângulo: "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Em outras palavras, sendo "a" o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo e "b" e "c" os comprimentos dos catetos, o Teorema de Pitágoras pode ser escrito assim: a^2 = b^2 + c^2 . 3º Problema: A Hipótese do Continuum [2] Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) foi um matemático alemão (de origem russa), cuja notoriedade se deve, principalmente, à formulação da moderna Teoria dos Conjuntos. Judeu, Georg Cantor acreditava que fora ungido por Deus para afirmar, e provar, para a humanidade sua principal conjectura: a Hipótese do Continuum. Sua constante frustração, por não conseguir realizar tal intento, o mergulhava, invariavelmente, em surtos de profunda depressão. Cantor faleceu em 1918, internado num hospital psiquiátrico, na cidade de Halle, Alemanha. Embora tenha falhado (e não poderia mesmo ser de outra forma - ver abaixo) na demonstração da sua fantástica hipótese, Cantor provou que a cardinalidade dos conjuntos infinitos não é sempre a mesma e, assim, descobriu uma métrica para as cardinalidades infinitas, o que era, até então, inimaginável! Posteriormente, por volta de 1940, Kurt Gödel (vide o 2º Problema) mostrou que a Hipótese do Continuum era uma das questões indecidíveis da Matemática, i.e., não é possível demonstrar que seja verdadeira ou falsa! O enunciado da Hipótese do Continuum de Georg Cantor: - A primeira letra do alfabeto hebraico, "alef", designa a cardinalidade dos conjuntos infinitos. "Alef0" é a cardinalidade do conjunto dos números inteiros, e "alef1" a cardinalidade subseqüente, a do conjunto dos números reais. A Hipótese do Continuum propõe a seguinte e extraordinária equação: 2^(alef0) = alef1 . 2º Problema: O Teorema de Gödel Situado no ápice da Lógica Matemática, o Teorema de Gödel estabelece, primeiro, a incompletude de todas as teorias axiomáticas (p.ex., a Matemática), e, segundo (como conseqüência), a indecidibilidade (se são verdadeiras ou falsas) de eventuais proposições decorrentes de um corpo axiomático (novamente, p.ex., a Matemática). Essas duas comprovações causaram uma verdadeira revolução nos alicerces da Matemática, conferindo a esta Ciência - considerada, em tese, "exata" - o que parece ser impossível: um caráter incompleto e incerto, i.e., um caráter humano! O Teorema de Gödel é o trabalho de maior expressão do matemático austríaco (naturalizado americano) Kurt Gödel (1906-1978). É também chamado de Teorema da Incompletude, por afirmar que qualquer teoria baseada em um corpo axiomático, que seja suficiente para conter a Aritmética Básica, não pode ser - concomitantemente - completa e consistente. Isto significa que se é completa, então é inconsistente (não pode validar a si mesma); ou, se é consistente, então é incompleta. Esta última assertiva se traduz na indecidibilidade: existem proposições que não podem ser nem comprovadas nem negadas estritamente através das regras fixadas pelo corpo axiomático que fundamenta uma determinada teoria científica, i.e., a validade de tais proposições (se verdadeiras ou falsas) não pode ser determinada. O progresso proporcionado pelas descobertas de Gödel no campo da Lógica foi decisivo para o desenvolvimento deste capítulo da Matemática Moderna. Não obstante e paradoxalmente, durante a velhice, Gödel passou a padecer de ataques de paranóia: tinha a convicção de estar sendo paulatinamente envenenado e recusava-se, de forma peremptória, a comer, o que contribuiu definitivamente para a sua morte, ocorrida em 1978, em Princeton, EUA. 1º Problema: A Máquina de Turing O matemático britânico Alan Mathison Turing (1912-1954) cunhou, definitivamente, seu nome na História por ter decifrado, nos últimos anos da Segunda Guerra Mundial, os códigos ultra-secretos produzidos pela complexa máquina de criptografia - a Enigma - utilizada pela Alemanha nazista. Apesar disto, devido à sua declarada homossexualidade, Alan Turing foi enxovalhado pela sociedade da sua época. A insuportável rejeição social que sofreu o levou a uma condição gravíssima de autodestruição, que culminou no seu suicídio, em 1954, quando tinha apenas 41 anos, pela ingestão de uma maçã envenenada, numa clara alusão à fábula da Branca de Neve. Na Matemática, mais especificamente na Ciência da Computação, sua contribuição mais relevante foi a idealização de uma máquina teórica - a Máquina de Turing -, capaz de simular todos os aspectos lógicos do funcionamento de qualquer computador digital - uma invenção assombrosa! Proposta em 1936, a Máquina de Turing é uma máquina de estado finito, capaz de ler os dados de entrada mais de uma vez e, também, de apagar ou modificar os valores destes dados de entrada. Tem ainda, por definição, uma memória auxiliar ilimitada. Por conseguinte, a Máquina de Turing supera as deficiências das demais máquinas de estado finito. A descrição (muito simplificada e resumida) da Máquina de Turing: - Como disse, trata-se de uma máquina de estado finito, alimentada por diversas células dispostas numa fita linear e seqüencial. Cada uma das células contém um único símbolo (i.e., um valor) de um alfabeto predefinido. A qualquer momento, apenas um número finito de células contém valores já determinados. Considere ainda que exista um símbolo (p.ex., "b") para denotar uma célula vazia ou sem valor. A unidade de estado finito, através da sua cabeça de leitura e gravação, lê uma célula da fita a cada momento. No pulso (step) seguinte, dependendo do estado corrente da unidade e do símbolo lido, a unidade pode não realizar ação alguma, i.e., ela pára, ou, então, realizar 3 ações: - Imprimir um símbolo do alfabeto na célula lida, podendo ser o mesmo símbolo que a célula já continha; - Passar ao estado seguinte, podendo este ser o mesmo estado que antes; - Mover a cabeça de leitura e gravação para uma célula à direita (avançando sobre a fita), ou à esquerda (retrocedendo sobre a fita). Se uma Máquina de Turing fosse alimentada com uma fita contendo o corpo axiomático completo de uma teoria (p.ex., a Aritmética), então, em princípio, esta máquina deveria (ou poderia) ser capaz de deduzir todos os teoremas, sem exceção, desta teoria, até esgotá-la! Destarte, estaria descoberta a máquina do alfa e do ômega das ciências dedutíveis, cujo maior exemplo é a própria Matemática. Contudo, demonstra-se que isto não é verdade! Mas, por qual desígnio a Matemática, e as demais ciências dedutíveis, estão a salvo da finitude, i.e., de serem exauridas por esta "máquina do juízo final"? A resposta para esta pergunta é fantástica: a Máquina de Turing não tem a capacidade de decidir sozinha, ou seja, sem uma influência exógena, se ela deve parar (concluir a computação) ou continuar - trata-se do Problema da Parada, uma questão indecidível! De fato, o Teorema de Rice (Henry Gordon Rice, 1951), também conhecido como Teorema de Rice-Myhill-Shapiro, prova que toda questão não-trivial sobre o comportamento ou saída de uma Máquina de Turing é indecidível. A conseqüência disto é um verdadeiro milagre: a Matemática, incluindo qualquer um dos seus capítulos, é inesgotável, é infinita! Pronto, cheguei ao final! Elegi, para coroar a lista, o Teorema de Gödel e a Máquina de Turing. Na realidade, são duas soluções distintas do mesmo problema: um dos 23 problemas (talvez o mais agudo, o Problema da Decidibilidade) propostos por Hilbert. Um pouco da História: - Em 1900, durante o Congresso Internacional de Matemática realizado em Paris, o então já eminente matemático alemão David Hilbert (1862-1943) desafiou a comunidade acadêmica, apresentando uma lista de 23 problemas [2]. Alguns desses problemas permanecem sem solução até os dias de hoje. Entretanto, é certo que a verdadeira motivação de Hilbert, para formular esses problemas, foi colocar a Matemática em bases que fossem absolutamente sólidas (inabaláveis). O objetivo primordial de Hilbert era demonstrar a coerência da Aritmética, para depois estender esta coerência aos demais capítulos da Matemática. Ele acreditava na possibilidade da existência de um algoritmo, através do qual uma proposição genérica da Matemática pudesse ser considerada verdadeira ou falsa. Neste sentido, o segundo problema da lista de Hilbert referia-se diretamente à confiabilidade do raciocínio matemático, i.e., se ao seguir somente as regras de um corpo de axiomas matemáticos não se poderia chegar, de forma alguma, a contradições. Relacionado com este, o décimo problema era crucial para a Ciência da Computação. Seu enunciado, bastante simples, dizia o seguinte: "Descreva um algoritmo que determine se uma dada equação diofantina, de coeficientes inteiros, tem solução no domínio dos números inteiros [3]". É o famoso Problema da Decidibilidade! De fato, este problema consiste em indagar se existe um procedimento mecânico efetivo para determinar se todos os enunciados matemáticos, que sejam verdadeiros, podem ser ou não provados, i.e., se eles podem ser deduzidos partindo, unicamente, de um dado conjunto de premissas. Gödel e Turing, cada um a seu modo, provaram a impossibilidade de tal procedimento mecânico (um algoritmo automatizado) e, assim, livraram a Matemática dos autômatos e a deixaram, definitivamente, aos cuidados do gênio humano. Escrevi este artigo - talvez seja melhor qualificá-lo apenas como um ensaio - para fomentar um debate: - Afinal, existe ou não, inequivocamente, o Problema Perfeito? Caso exista, qual é ele? Para terminar, reitero que aceito - e agradeço! - quaisquer críticas e contribuições que possam aperfeiçoar o texto original deste trabalho. Assim, é possível que ele possa ser modificado integralmente, ser ampliado ou diminuído, reordenado ou reescrito. É possível, até, que ganhe vida própria! [1] O Axioma da Escolha (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1904): - Considere um conjunto "A" qualquer, cujos elementos sejam conjuntos não-vazios, então, mesmo que "A" seja um conjunto infinito, é possível escolher um único elemento de cada conjunto de "A" através de uma função de escolha. [2] A demonstração da Hipótese do Continuum, de Cantor, era o primeiro da lista dos 23 problemas propostos por Hilbert, em 1900. [3] E tudo está mesmo, espantosamente, interligado: caso conseguida, a solução do décimo problema de Hilbert abrangeria o Último Teorema de Fermat e, também, a Conjectura de Catalan. Este artigo foi escrito, pela primeira vez, na cidade do Rio de Janeiro, em 9 de julho de 2008. Quaisquer críticas e contribuições, que visem aprimorá-lo, serão sempre bem-vindas e poderão ser enviadas para o seguinte endereço de e-mail: [EMAIL PROTECTED] . _________________________________________________________________ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
