Muito obrigado, Latino. Valeu pela ajuda. Martins Rama.
> Problema 1) > > Passos para a solução: > > - Se um triângulo retângulo tem hipotenusa a e catetos b e c, deduza que o > raio da circunferência inscrita a ele vale (b+c-a)/2. > - Determine o raio das duas circunferências. > - Se d é a distância entre os centros das circunferências, deduza que d^2 > = (r1+r2)^2 + (r1-r1)^2 e termine a questão. > > Problema 2) > > Considere ABCDEF o hexágono descrito, com AB = BC = CD = 3 e DE = EF = FA > = 5. > > É fácil perceber que <BAF = <CDE = 120 (Por que?) > > Aplicando Lei dos Cossenos no triângulo CDE, temos: > > CE^2 = 3^2 + 5^2 -2.3.5.cos120 ====> CE = 7 (I) > > Conhecendo o Teorema de Ptolomeu, o problema é resolvido em 3 iterações: > > 1- Quadrilátero BCEF: > > BC.FE + CE.BF = BE.CF (CE = BF e BE = CF, por simetria. CE = 7, por I) > ===> 3.5 + 7.7 = CF^2 ===> CF = 8 (II) > > 2- Quadrilátero CDEF: > > CD.EF + DE.CF = CE.DF (CF = 8, por II) ===> 3.5 + 5.8 = 7.DF ===> > DF = 55/7 (III) > > 3 - Quadrilátero ADEF: > > AD.EF + AF.DE = AE.DF (AE = DF, por simetria. DF = 55/7, por III) ===> > AD.5 + 5.5 = (55/7)^2 ===> AD = 360/49 ===> m + n = 409. > > Letra E. > > > Problema 3) > > Considere os ângulos escritos em graus. > > Seja P o ponto de intersecção do prolongamento de CM com o lado AB e P' o > simétrico de P em relação ao ponto médio do lado AB. > > Assim, <P'CB = <ACP = 23 e <PCP' = <ACB - <ACP - <P'CB ===> <PCP' = 106 - > 23 - 23 = 60 (I) > > Agora vem a reta mágica: > > Construa o segmento AM', externo ao triângulo ABC e tal que AM' = AC e > <BAM' = 23. (OBS: M' e C ficam em semiplanos diferentes em relação ao lado > AB) > > Olhemos para o triângulo ACM': > > AC = AM' e <CAM' = <CAB + <BAM' = 37 + 23 = 60. Logo, ACM' é equilátero > (II) > > Desde que <ACM' = 60 (por II) e <PCP' = 60 (por I), então <M'CP' = <ACP = > 23 (III). > > Olhemos agora para o triângulo M'CB: > > M'C = CA (por II) e CA = CB (dado do problema), logo M'C = CB e o > triângulo M'CB é isósceles. Desde que <BCP' = <ACP = 23 (por simetria) e < > M´CP' = 23 (por III), então CP' é bissetriz de <M'CB. Como <BP'C = 120 (já > que PCP' é equilátero), então BP'M' é isósceles com ângulos 120-30-30 e > M'P' = P'B. > > Como AMP é também isósceles com ângulos 120-30-30 e AP = P'B (por > construção de P'), então os triângulos AMP e M'P'B são congruentes. Logo, > BM' = AM (IV). > > O quadrilátero MAM'B é um paralelogramo, pois BM' = AM (por IV) e BM'//AM > (já que <M'BA = <MAB = 30). Logo, MB = AM'. Por construção, AM' = AC = CB, > logo MB = CB e o triângulo CMB é isósceles. Como <MCB = 83, então <CMB = > 83. > > Letra B. > > > Edson. > >> TRES QUESTOES DESAFIOS QUE GOSTARIA QUE COMENTASSEM: >> >> 1) Seja um triângulo ABC retângulo em A e tal que B=30°. Traça-se a >> altura >> AH, H pertencente à BC. Se BC = sqr(3) +1, então a distância entre os >> centros dos círculos inscritos nos triângulos ABH e ACH mede: >> a) sqr(3)/4 >> b) 1/3 >> c) 1/4 >> d) sqr(3)/3 >> e) sqr(2)/2 >> >> 2) Um hexágono inscrito em um círculo possui três lados consecutivos de >> medida igual a 3 e outros três lados consecutivos iguais a 5. A corda do >> círculo que divide o hexágono em dois trapézios, um deles com três lados >> consecutivos medindo 3 e o outro com três lados de medida igual a 5, >> possui medida igual a m/n, m e n primos entre si. O valor de m + n é >> igual >> a: >> a) 309 >> b) 349 >> c) 369 >> d) 389 >> e) 409 >> >> 3) Seja ABC um triângulo isósceles com AC=BC e o ângulo ACB=106°. Um >> ponto >> M do seu interior é tal que os ângulos MAC=7° e MCA=23°. A medida do >> ângulo CMB é igual a: >> a) 81° >> b) 83° >> c) 85° >> d) 87° >> e) 89° >> >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
