O jeito que eu conheço acho que é mais direto: f(x) = lnx / x f'(x) = 0 <==> (1 - lnx)/x^2 = 0 <==> x = e. Então o ponto crítico é em x = e, e verifica-se que é máximo Então: f(e) > f(pi) <==> lne / e > ln pi / pi <==> pi > e ln pi <==> e^pi > e^(e ln pi) = pi^e.
2008/6/27 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá! > > Sua solução - é claro - está correta! Entretanto, acho mais elucidativo > demonstrar que > > e^pi > pi^e > > Demonstrando que: > > Se a > b >= e então b^a > a^b > > E mais: > > Se e >= b > a >= 0 então b^a > a^b > > Daí: > > Se a >= 0 e "a" é diferente de "e" então e^a > a^e (dentre os > números reais, apenas "e" tem esta propriedade). > > Para demonstrar as desigualdades acima, basta analisar os intervalos nos > quais a função > > f(x) = [ln(x)]/x > > é crescente e, depois, decrescente. > > Sds., > > AB > > ------------------------------ > *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em > nome de *Iuri > *Enviada em:* quinta-feira, 26 de junho de 2008 18:30 > *Para:* [email protected] > *Assunto:* Re: [obm-l] e^pi vs. pi^e > > e^x >= x+1 (demonstração a partir da expansão de e^x em torno do ponto > zero) > > Sabemos que a igualdade acontece somente para x=0, entao, supondo x > diferente de zero, temos: e^x > x+1 > > Para x=pi/e -1, temos: > > e^((pi/e) -1) > pi/e > e^(pi/e) > pi > e^pi > pi^e > > > > On Thu, Jun 26, 2008 at 6:17 PM, Bouskela <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >> Sem dispor de uma calculadora e, também, sem fazer contas, cálculos etc., >> demonstre, ANALITICAMENTE, que: >> e^pi > pi^e >> >> Sds., >> AB >> > > -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
