Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisível por 4 **prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 ímpar ==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c
----- Original Message ----- From: douglas paula To: [email protected] Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão rodrigo, ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo número pode ser expresso como diferença de dois quadrados, só existem "c" tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados ----- Original Message ----- From: douglas paula To: [email protected] Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato, Douglas -------------------------------------------------------------------------------- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -------------------------------------------------------------------------------- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
