Parabéns Ralph. A resposta é mesmo 18. Eu fiz empiricamente, mas cheguei lá
também.
Fernando
2008/5/19 Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>:
> Desculpa, Eduardo, mas eu vou ser muito muito chato e inserir minha fala
> probabilística favorita (quem me conhece não me aguenta mais com isso):
>
> "Mas os eventos contados são igualmente prováveis?"
>
> (Neste caso, não são!!, então sua solução, apesar de muito bela,
> infelizmente não funciona.)
>
> ---///---
>
> Vamos tentar outra solução... Comprei n caixas. Vou supor que
> i) As probabilidades dos brinquedos estão igualmente distribuídos (isto é,
> não há, a priori, "figurinha difícil"); isto significa que a probabilidade
> de uma determinada caixa conter o brinquedo 1 é 1/5=0.2, assim como o
> brinquedo 2, 3, 4 ou 5.
> ii) Caixas distintas são "independentes" entre si; esta é uma suposição
> razoável se, por exemplo, as caixas são bem distribuídas geograficamente, ou
> se você compra de vários lugares aleatoriamente, e se o número de caixas que
> você compra é bem menor que o produzido... Tem outros jeitos de esta
> suposição ser razoável também, então fico com ela.
>
> Então vamos lá: sejam N1, N2, N3, N4 e N5 as probabilidades de você NÃO ter
> os brinquedos 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, depois de comprar as n caixas.
> Temos (para i, j, k, l em {1,2,3,4,5} distintos dois a dois):
>
> Pr(Ni)=(0.8)^n ((i) garante o "0.8"; (ii) garante o "^n"; há 5 termos
> deste tipo)
> Pr(Ni e Nj)=(0.6)^n (há C(5,2)=10 termos destes)
> Pr(Ni e Nj e Nk)=(0.4)^n (C(5,3)=10 termos assim)
> Pr(Ni e Nj e Nk e Nl)=(0.2)^n (C(5,4)=5 termos assim)
> Pr(N1 e N2 e N3 e N4 e N5)=0^n=0 (se n>=1)
>
> O evento que me interessa é N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5 (este é o evento
> "não completei a coleção", algum dos brinquedos me faltou). Usando aquelas
> leis de De Morgan (argh!):
>
> Pr(Não completar coleção) = Pr(N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5) =
> = Soma(Pr(Ni))-Soma(Pr(Ni e Nj))+Soma(Pr(Ni e Nj e Nk))-Soma(Pr(Ni e Nj e
> Nk e Nl)) + Pr(N1 e N2 e ... e N5) =
> = 5(0.8)^n - 10(0.6)^n + 10(0.4)^n - 5(0.2)^n
>
> (Deixa eu fazer um "reality check": fazendo as contas com esta expressão aí
> dá P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1 e P(5)=601/625... Isto reflete que é impossível
> completar a coleção com 1,2,3 ou 4 caixas, e a chance de fechar a coleção
> com 5 caixas é 5!/5^6=24/625. Ok!)
>
> Eu quero que isso seja menor que 10%, então a equação a resolver é:
>
> P(n)=5(0.8)^n-10(0.6)^n+10(0.4)^n-5(0.2)^n < 0.1
>
> Argh, não tenho idéia de que método algébrico usar nesta caca.... Vou dar
> um bicão só com o primeiro termo para obter uma primeira aproximação (na
> esperança de que os outros sejam bem menores, afinal, olhe as bases deles!):
> 5(0.8)^n < 0.1
> (0.8)^n < 0.02
> n > ln(0.02)/ln(0.8) = 17.53 (usei uma calculadora; talvez desse para
> estimar isso de outro jeito, mas eu vou na calculadora daqui para a frente)
>
> Da "natureza do problema", é claro que P(n) é não-crescente nos inteiros
> positivos. Vamos experimentar alguns valores por perto do 17.53:
>
> P(17)=5(0.8)^17-10(0.6)^17+19(0.4)^17-5(0.2)^17 ~= 11.090%
> P(18)=5(0.8)^18-10(0.6)^18+19(0.4)^18-5(0.2)^18 ~= 8.9057%
>
> Então é isso aí, a resposta é n=18 caixas!
>
> Abraço,
> Ralph
> 2008/5/19 Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Olá, Fernando,
>>
>> Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo
>> que, destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e
>> assim por diante, de tal modo que:
>>
>> b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
>>
>> O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
>> número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito
>> de compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses
>> valores são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e
>> C(n+5-1,5-1) = C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
>>
>> C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
>>
>> ou, expandindo,
>>
>> (1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
>>
>> A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
>> devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84.
>> Logo, basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 %
>> de se adquirir os cinco brindes.
>>
>> Um abraço,
>> Eduardo Luis Estrada
>>
>> ----- Mensagem original ----
>> De: Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>
>> Para: [email protected]
>> Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
>> Assunto: [obm-l] DESAFIO
>>
>> Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde
>> para incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a
>> idéia é fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível
>> descobrir qual brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto.
>> Nesse caso, um colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5
>> caixas do produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele
>> não sabe qual brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais
>> de 5 caixas para completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos.
>> Qual seria o número mínimo de caixas que a pessoa teria que comprar para
>> assegurar, com 90% de chances, de que ela terá os 5 brindes?
>>
>> Fernando
>>
>>
>>
>> ------------------------------
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