Bom, eu não enunciei o problema direitinho, então estava faltando P(k) = 8. Reescrevendo:
Determinar todos os polinômios P(x) de coeficientes inteiros tais que existem a, b, c, k inteiros distintos tais P(a) = P(b) = P(c) = 5 e P(k) = 8. []'s Shine ----- Original Message ---- From: Igor Battazza <[EMAIL PROTECTED]> To: [email protected] Sent: Monday, January 14, 2008 8:19:33 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios Essa lista é mesmo fantastica! Obrigado a todos mesmo! Com relação ao problema proposto pelo prof. Shine: > > Note que se fossem 3 inteiros a,b,c no lugar de > a,b,c,d, seria possível construir P(x). De fato, > fazendo as mesmas contas (sem o d, claro) obtemos > 3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)R(x) > e podemos tomar k-a = -3, k-b = -1 e k-c = 1. Tomando > k=0, temos a = 3, b = 1 e c = -1. Tomando ainda R(x) = > 1, obtemos > Q(x) = (x-3)(x-1)(x+1) = x^3 - 3x^2 - x + 3 > ou, mudando para P(x), > P(x) = Q(x) + 5 = x^3 - 3x^2 - x + 8. > > Temos P(3) = P(1) = P(-1) = 5 (verifique!) e P(0) = 8. > > Você conseguiria encontrar *todos* os polinômios P(x) > desse novo problema? > > []'s > Shine > Se eu entendi bem, o problema seria encontrar todos os polinômios P(x) onde existem inteiros distintos a, b e c tal que P(a) = P(b) = P(c) = 5? Poderia supor a existencia de inteiros k, t tal que P(k) = t. (I) Usando a mesma idéia do problema anterior: Seja Q(x) = P(x) - 5, onde a, b e c são raizes de Q(x). Portanto Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)R(x), e de (I) teriamos: Q(k) = P(k) - 5 = t - 5 = (k-a)(k-b)(k-c)R(x) Agora eu engasguei... Pensei em usar tau(t-5), onde poderia obter o numero de divisores (positivos), não sei se ajudaria em algo... (Desculpem se estou dizendo asneiras) ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ Be a better friend, newshound, and know-it-all with Yahoo! Mobile. Try it now. http://mobile.yahoo.com/;_ylt=Ahu06i62sR8HDtDypao8Wcj9tAcJ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
