Nesta prova, não foi implicitamente admitida a continuidae de f?
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Diniz
Enviada em: quinta-feira, 20 de dezembro de 2007 13:24
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] equacao funcional
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.
da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.
seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde
[br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} )
= f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1).
Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.
espero que esteja correto.
Abraços,
Felipe Diniz
On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa < [EMAIL PROTECTED]
<mailto:[EMAIL PROTECTED]> > wrote:
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
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Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] equacao funcional
To: [email protected]<mailto:[email protected]>
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para
todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante.
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