Eu analisei esse produto do Albert ontem sem sucesso, mas notei que na produtória aparecem os termos n!^2 e a soma dos quadrados 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n-1)/6 e também outros termos que formam sequências do tipo (n!/2)^2 + (n!/3)^2+ (n!/4)^2 .... + (n!/n)^2
esta última poderia ser escrita como n!^2(1 + 1/2^2 + 1/3^2 + .... + 1/n^2) quando n--> infinito, a expressão entre parênteses --> (pi^2)/6 é uma observação intrigante, mas obviamente não resolve o problema ´já que quando n--> infinito obviamente o produto tb tende Mais alguém achou essa formulação? ----- Mensagem original ---- De: Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> Para: [email protected] Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 14:52:21 Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito fica então dessa forma a responsabilidade, par o calculo da soma de um logaritmo vendo que essa função satisfaz a recorrencia encontrada acima f(n+1)=a^soma[0, n]log (1+ (k+1)²)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²). a^log (1+(n+1)²)= f(n)*(1+(n+1)²) então f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²), satisfaz a recorrência agora sobre como aparece os números de stirling nesse problema analisando sua solução do outro produtorio albert, tentei fazer esse de forma analoga prod[0,n](1+k²) fatorando 1+k², com ajuda dos complexos (k+i)(k-i) prod[0,n](k+i)(k-i)=prod[0,n](k+i) *prod[0,n](k-i)= prod[0,n](i+k) *prod[0,n](-1)(i-k)= colocando o (-1) pra fora do produtorio (-1)^(n+1).prod[0,n](i+k) *prod[0,n](i-k) nos dois produtorio termo (abrindo de maneira informal) (i)(i+1)(i+2).... (i+n) * (i)(i-1)(i-2)... (i-n) (-1)^(n+1) temos duas potencias fatoriais multiplicadas, potencias fatoriais de base complexa a da esquerda vou escrever (i)^(n+1,-1) e da direita (i)^(n+1,1) para potencias fatoriais de passo -1 e 1 (respectivamente representando os produtorios a partir da esquerda) dai temos isso então (i)^(n+1,-1)* (i)^(n+1,1) * (-1)^(n+1) porém é possivel escrever potências fatorias como soma de potencias normais, atraves dos numeros de stirling, temos então (i)^(n+1,-1)=soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k e (i)^(n+1,1)=soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k logo o produtorio toma forma de soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k * soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k. (-1)^(n+1) onde s(n,k) são números de stirling do primeiro tipo (com sinal alternado, se quiserem posso postar a demonstração e definição depois) e |s(n,k) | o modulo deles, é isso (que não ajudou em nada =P) abraços Em 29/11/07, Rodrigo Renji<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > corrigindo > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até > n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) > > escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim > > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até > n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) > > vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio > > notações > prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de "a" até "b" > > no caso o produtório pedido foi > prod[1,n] (1+k²) , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada > no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever > prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n) > vimos a recorrencia que ele gera > prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando > f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos > f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então > podemos tomar > > f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n) > procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) , > que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema "morre" > > mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²) > porém podemos fazer o seguinte > > seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então > f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois > (seja sempre o log na base a) > f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log > f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n) > logo Qf(n)=a^D log f(n) > > com isso temos > a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando > D log f(n)= log (1+ (n+1)²) > > seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como > soma [0, n-1], pode se mostrar que > soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima > temos > > soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o > produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e > log 1=0, então a expressão fica como > log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) > tirando o log do primeiro membro, ficamos com > f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) > > continua > > > > > > > Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Rodrigo Renji escreveu: > > > Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta > > > certo > > > > > > > > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até > > > n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) > > > > > onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| > > > sendo o módulo desses números, i o número complexo. > > > > > > A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em > > > dois, > > > depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito > > > como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada > > > simples eu acho > > > > > > abraços > > > > > > Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > >> Rodrigo Cientista escreveu: > > >> Caro Nehab, > > >> > > > > > > uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser > > > > > >> negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, > > >> calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, > > >> fatorial > > >> de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais > > >> geralmente, -N! = (-1)^N * > > >> N! > > >> > > > > > > *************************************************************************************************** > > > > > > Carlos > > > > > >> Nehab > > >> > > > Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800 > > > Oi, Albert (e Ponce) > > > Faltou aplicar o > > > > > >> fatorial em cada parcela do produtório... > > >> > > > Nehab > > > > > > ----- Mensagem original > > > > > >> ---- > > >> > > > De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> > > > Para: > > > > > >> [email protected] > > >> > > > Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 > > > > > >> 3:36:56 > > >> > > > Assunto: Re: [obm-l] Produto finito > > > > > > Ola' Albert, > > > voce deve ter se > > > > > >> enganado com alguma coisa no texto. > > >> > > > Do jeito que esta' , o produto e' sempre > > > > > >> zero. > > >> > > > > > > []'s > > > Rogerio Ponce > > > > > > > > > > > > Em 27/11/07, albert richerd carnier > > > > > >> guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > >> > > > > > > > > >> Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista. > > >> > > > Alguém sabe qual > > > > > >> é o valor do produto finito > > >> > > > > > > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - > > > > > >> N^2 )em função de N. > > >> > > > > > > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e > > > > > >> (N+1)!N!. > > >> > > > > > > Agradeço qualquer > > > > > >> sugestão. > > >> > > > ========================================================================= > > > Instruções > > > > > >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > > >> em > > >> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > > > >> ========================================================================= > > >> > > > Instruções > > > > > >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > > >> em > > >> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > >> Abra sua conta no Yahoo! 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[( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N > > > > > >> )] > > >> > > > > > > e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis > > > > > > P_1 = ( 1 - 2 ) ... > > > > > >> ( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)! > > >> > > > P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n ) > > > > > >> ... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2 > > >> > > > > > > E teremos > > > > > > P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!( > > > > > >> N +1 )!/2 > > >> > > > > > > > > > Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito > > > > > >> deles. > > >> > > > Não sei pra que servem, mas acho muito legais. > > > > > > > > >> ========================================================================= > > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > >> ========================================================================= > > >> > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :) > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Abra sua conta no Yahoo! 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