Artur,
Gostei da perspectiva de estruturas algébricas.
Obrigado,
Sérgio
----- Original Message -----
From: Artur Costa Steiner
To: [email protected]
Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM
Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos
A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não
reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de
R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate
aí, não há absolutamente nenhuma diferença.
A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e
passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco
vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele
definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e
obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende
a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na
Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo.
Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas
por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad +
bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que
satisfaz a todos os axiomas que a definem.
Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos
como estruturas algebricas, sao diferentes.
De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos
escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as
operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta
pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao
*, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C,
estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *..
Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b
por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um
sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou
melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula.
Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os
numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real
1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de
algebra voce acha estes conceitos.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo
Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no
plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no
plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que
estamos multiplicando números complexos.
t+
Jones
On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Colegas,
Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja,
entre (a,b) representando um vetor e um número complexo?
Um abraço,
Sérgio
