=soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)= aparece um termo k dentro do somatorio, se abrirmos o primeiro termo do somatorio verificamos que ele é zero, então podemos escrever
=soma[k=1,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)= fazendo uma mudança de variavel no somatorio, subtraindo 1 dos limites ficamos com (apenas no primeiro somatorio) =soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)= abrindo o ultimo termo do segundo ficamos com =soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+soma[k=0,n-1][n,k]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)= juntando agora os dois somatorios do meio em um mesmo por linearidade =soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+[n,k]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)= colocando g(k+1,x) em evidencia =soma[k=0,n-1][[n,k+1](k+1)+[n,k]]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)= usando a definição de números de stirling para escrever =soma[k=0,n-1][n+1,k+1]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)= [n,n]=1=[n+1,n+1] pela definição de numeros de stirling, tomando uma mudança de variavel no somatorio, somando +1 aos limites =soma[k=1,n][n+1,k]g(k,x)+[n+1,n+1]g(n+1,x)= juntando o termo [n+1,n+1]g(n+1,x)= ao somatorio =soma[k=1,n+1][n+1,k]g(k,x) lembrando que [n+1,0]=0 podemos escrever finalmente =T^(n+1)g(x)=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x) c.e.d dois corolários primeiro toda potencia pode ser escrita como soma de potencias fatoriais faça x=T então xg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x) e g(0,x)=1 g(k,x) será a potencia fatorial x^n =T^n, x^n=soma[k=0,n][n,k]g(k,x) segundo tome g(x)=f(e^x) e g(k,x)=e^(kx).f^(k)(e^x) com o operador T como derivada, que vou simbolizar ela aplicada por [g(x)]^(n), temos então [f(e^x)]^(n)=soma[k=0,n][n,k]e^(kx).f^(k)(e^x) f^(k)(e^x) é a k-esima derivada da função [nao sendo da composta inteira, apenas da exterior] só isso =x Em 24/10/07, Rodrigo Renji<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Descobri esse pequeno teorema e quero compartilhar com o pessoal da > lista, lá vai ele > > vou provar aqui um pequeno teorema que descobri esse dias que fala de > numeros tem como corolario a correlação entre números de stirling e > potencias fatoriais > > > o somatório de f(k), com k variando de k=0 até k=n, eu vou escrever como > soma[k=0,n]f(k). > > > seja um operador T qualquer com as seguintes propriedades > Tsoma[k=0,n](ck)f(k,x)=soma[k=0,n](ck)Tf(k,x) > isto é, comuta com somatório (ck são números) > e > > T[T^(n)g(x)=T^(n+1)g(x). > com > T^(0)g(x)=g(x), para qualquer n natural. > > > > e, seja uma função de duas variáveis g(k,x), definida pelo menos para > k inteiro não negativo. tal que > > g(x)=g(0,x) > e > > Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x) > > agora definição para números de stirling > são numeros que satisfazem a recorrencia > > [n,k]=k[n-1,k] + [n-1,k-1] > > se n>k e k>1 > [n,n]=1 para qualquer n natural > [n,1]=1 para qualquer n natural > e [n+1,0]=0 para qualquer n natural > > temos então o teorema > > T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x). > > demonstração por indução sobre n > > para n=0 temos > > T^(0)[g(x)]=g(x)=soma[k=0,0].[0,k].g(k,x)=[0,0]g(0,x)=g(x) > pelas definições do operador e da função g(k,x) e números de stirling > > hipotese da indução > T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x). > > > vamos demonstrar agora para > (n+1) > T^(n+1)[g(x)]=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x). > partindo da hipotese e aplicando o operador T nela > > T[T^(n)][g(x)]=T^(n+1)[g(x)]=Tsoma[k=0,n][n,k]g(k,x) =soma[k=0,n][n,k]Tg(k,x) > > pela definição do operador e suas propriedades, agora aplicando a > definição do operador na função g(k,x) temos > =soma[k=0,n][n,k][kg(k,x)+g(k+1,x)]= > usando a linearidade do somatorio ficamos com > =soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)= > > continua > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
