Oi pessoal. Eu mandei há algum tempo um email a respeito de distribuições,
mas eu nao o vi na minha caixa de entrada, então não sei se ele nao chegou
ou se ninguem respondeu mesmp. Em qualquer um dos casos, estou reenviando a
questao.
Seja f uma funcao localmente integravel. Podemos associar a f uma
distribuicao regular, Tf, dada por: Tf(phi) = integral (f*phi), sobre os
reais. Gostaria de demonstrar que supp f = supp Tf, onde supp f significa
suporte de f (menor fechado que contem o conjunto { x; f(x) != 0 }, e supp
Tf é o suporte de uma distribuicao, isto e, o menor fechado fora do qual a
distribuicao é nula (dizemos que uma distribuicao é nula num aberto U se
para toda funcao teste phi de suporte contido em U, Tf(phi) = 0).
Uma das inclusoes é facilmente demonstravel: supp Tf \in supp f (para
qualquer funcao teste phi com suporte fora de supp f, f*phi = 0, e assim
Tf(phi) = 0, assim Tf é nula fora de supp f, e portanto supp Tf \in supp f)
O problema que encontro esta na segunda parte. Se admitirmos teoria de
integracao de Riemann, ok, existe uma demonstracao simples: como ja
mostramos uma inclusao, se a outra nao valer é pq existe um ponto (e entorno
do qual um conjunto aberto U) que esta em supp f mas esta fora de supp Tf.
Estando fora de supp Tf, devemos ter que Tf(phi) = 0 para toda phi de
suporte em U. Pois bem, dentro de U existe um intervalo no qual f nao muda
de sinal. Escolha uma phi com o mesmo sinal de f no centro desse intervalo e
que torne-se zero ainda dentro do intervalo, e fora de U phi sempre zero.
Temos entao que Tf(phi) > 0, o que e uma contradicao, visto que escolhemos
phi com suporte em U, sendo que U esta fora do suporte de Tf. Assim, nao
existe nenhum ponto em supp f que nao esteja tambem em supp Tf, o que mostra
a segunda inclusao, concluindo a prova.
Agora nao consigo deomnstrar o mesmo considerando integral de lebesgue, pois
nao posso admitir que se f é localmente integravel entao existe um intervalo
no qual ela é continua, o que torna necessario mudar todo o argumento ( a
nao ser que alguem de um jeito de dizer que por qualquer motivo f tera que
ter um intervalo no qual é continua ).
Se alguem tiver alguma ideia, sera muito bem vinda!
Obrigado,
Bruno
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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
e^(pi*i)+1=0
