Oi, Nicolau, Adorei,
Obrigado, Nehb At 15:28 22/8/2007, you wrote:
On Wed, Aug 22, 2007 at 12:34:39PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote: > Oi, Shine, > > Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício > clássico? Já procurei no passado outros caminhos, inclusive > utilizando séries, mas não fui bem sucedido. Eu não sou o Shine, mas vou responder. Calcular esta integral é equivalente a calcular (-1/2)! = Gamma(1/2) = sqrt(pi) onde Gamma é a função Gamma de Euler, ou seja, definimos a! = int_0^infty t^a e^(-t) dt De fato, fazendo a substituição s^2 = t temos int_0^infty e^(-s^2) ds = (1/2) int_0^infty t^(-1/2) e^(-t) dt = (1/2)! Para provar que (-1/2)! = sqrt(pi) podemos usar o seguinte limite: a! = lim_(n -> infty) n^a * n!/(a+1)(a+2)...(a+n) Este limite é conseqüência da convexidade de log(Gamma(x)). Assim, (-1/2)! = lim_(n -> infty) n!/(sqrt(n)*(1/2)*(3/2)*...*((2n-1)/2)) = lim_(n -> infty) 2^(2n)*(n!)^2/(sqrt(n)*(2n)!) Agora usamos Stirling: n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2 pi n) para obter (-1/2)! = lim_(n -> infty) 2^(2n)*n^(2n)*e^(-2n)*2*pi*n/sqrt(n)*(2n)^(2n)*e^(-2n)*sqrt(2*pi*n) = sqrt(pi) Bem, a outra solução ainda é mais simples... []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
