Poxa, André
Ninguém deu bola pra você ....
Tentarei o primeiro...
Exercício 1
Sejam X e Y espaços vetoriais com a mesma dimensão finita. Suponha
que, para as aplicações lineares T:X-->Y e S:Y-->X, seja verdadeiro
ST = I, a identidade em X. Mostre que S = T^-1 .
Estratégia: A questão na verdade se resume a provar que T é bijetora,
pois se uma função T bijetora (independente de ser função linear ou
não) é tal que existe S com ST= I, tal S é necessariamente sua
inversa (ou seja, sua inversa à esquerda S é também sua inversa à direita).
a) T é injetora: dados x1 e x2 de X, devemos mostrar T(x1) = T(x2)
implica x1 = x2. Mas como S é função, S(T(x1)) = S(T(x2)); como a
composta é a identidade, S(T(x1)) = x1 e S(T(x2)) = x2; logo, x1 = x2.
b) T é sobrejetora
Seja u e v vetores linearmente independentes em X. Então, se
mostrarmos que T(u) e T(v) são linearmente independentes em Y será
imediato que a imagem de uma base em X é uma base em Y (pois T é
injetora e as dimensões de X e Y são iguais e finitas).
Seja T(u) = u' e T(v) = v'. Para mostrar que u'e v' são
linearmente independentes basta mostrar que se a.u'+ b.v'= 0 (onde
a e b são escalares e 0 o vetor nulo) necessariamente a=b=0. Mas
a.u'+b.v' = aT(u) +b T(v) = T(au+bv) (pois T é linear). Mas se
T(au+bv) = 0 = T(0), como T é injetora, au+bv=0 e como u e v são li, a=b=0.
Agora imagine u1,u2,...uk uma base de X; como T(uk) é base em Y
podemos expressar qualquer y de Y como combinação linear de T(uk):
a1T(u1)+a2T(u2)+...+anT(un), por exemplo. Mas é imediato perceber
que a imagem do vetor a1.u1+a2.u2+...an.un é exatamente y...
.
Deixo como exercício para você mostrar a afirmativa contida na
"estrategia", pois a "parte" que depende de "álgebra linear" está feita...
Quanto ao exercício 2 mais tarde darei uma pensada, mas espero que
alguém poste logo solução ... pois ainda ando enferrujado...
Abraços,
Nehab
PS: espero não haver deslizes no texto acima...:-)
At 13:05 11/8/2007, you wrote:
Olá pessoal, dêem uma ajuda nesses problemas abaixo. O primeiro
parece óbvio demais, mas o que usar para demonstrar este resultado
simples? O segundo já é de dificuldade um pouco maior.
Abraços,
1 - Sejam X e Y espaços vetoriais com a mesma dimensão finita.
Suponha que, para as aplicações lineares T:X-->Y e S:Y-->X, seja
verdadeiro ST = I, a identidade em X. Mostre que S = T^-1 .
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2 - Sejam X um espaço vetorial real de dimensão finita e B uma base
de X. Seja também T:XxX-->R uma forma bilinear. Mostre que existe
uma matriz A tal que
T(h, k) = [k]_B^t A [h]_B
Se X for um espaço com produto interno, mostre que existe uma
aplicação linear S:X-->X tal que A é a representação se S^t na base
ortongonal B. Mostre que B é simétrica se, e somente se, A for simétrica.
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André Rodrigues da Cruz
