Caros colegas,
Será que a resolução abaixo estaria correta?
Talvez, usando a informação das somas dos módulos de b_n do enunciado, fique
mais simples assim:
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Como (a_n) converge para 0, dado e > 0, |a_n| < e/k para todo n natural
positivo.
Da Desigualdade Triangular, temos:
|c_n| <= |a_1|.|b_n| + |a_2|.|b_(n-1)| + ... + |a_n|.|b_1|
Como , |an| < e/k, para todo n natural positivo, temos:
|c_n| < (e/k).|b_n| + (e/k).|b_(n-1)| + ... + (e/k).|b_1|. = (e/k).(|b_n|
+ |b_(n-1)| + ... + |b_1|) para todo n natural positivo.
Mas, do enunciado, temos |b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1| < k para todo n
natural positivo.
Portanto, |cn| < (e/k).k = e, para todo natural positivo e, portanto, (c_n)
converge para 0.
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E então? Está correto?
Grande abraço,
Fellipe Rossi
Em 29/06/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote:
> Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para
zero e
> suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
para
> todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n
=
> a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
>
> Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
As seqüências a_k e b_k são limitadas:
suponha que |a_k|, |b_k| < B para todo k.
Dado e > 0 seja N1 tal que n > N1 -> |b_(N1+1)|+...+|b_n| < e/(2B).
Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|.
Seja N2 tal que n > N2 -> |a_n| < e/(2C).
Tome N = N1+N2 e n > N.
|c_n| <= |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| +
|a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1|
Na primeira linha temos |a_k| < B.
Temos n+1-N1 > N2 donde na segunda linha temos |a_k| < e/(2C).
Assim
|c_n| <= B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) +
(e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|)
< Be/(2B) + Ce/(2C) = e
concluindo a demonstração.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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