bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2>f(t). Agora "Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0." Que desigualdade eh essa? "Assim c(-1,0) < c(-1/2,0) < c(-1/4,0) < c(-1/8,0) < ... ... < c(0,1/8) < c(0,1/4) < c(0,1/2) < c(0,1)." Tb nao sei de onde veio? Por que os coeficientes angulares devem ser inteiros? Grato.
----- Mensagem original ---- De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> Para: [email protected] Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 21:12:37 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 Klaus, A solução do Nicolau é muito bonita. Tem algum detalhe em específico que você não tenha entendido? Ele só chamou o coeficiente angular da reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a notação um pouco mais leve, eu acho. A idéia é que, se não existissem pontos que satisfizessem isso, então, (f(t+a) + f(t-a))/2 > f(t), ou seja, teríamos que a reta que liga o ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes está estabelecida (basta aplicar a definição de coeficiente angular). Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma contradição (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os pares de pontos na solução do Nicolau são inteiros, visto que são a divisão de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros existem apenas um número finito de inteiros.) -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá prof. Nicolau, > poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. > Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a > idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? > Grato. > > > ----- Mensagem original ---- > De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> > Para: [email protected] > Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 > Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 > > > > On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: > > (Russia-1999) Suponha f: Q-->Z, mostre que existem dois racionais > distintos > > r e s tais que (f(r)+f(s))/2<=f((r+s)/2). > > Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta > que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). > Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. > Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0. > Assim > c(-1,0) < c(-1/2,0) < c(-1/4,0) < c(-1/8,0) < ... > ... < c(0,1/8) < c(0,1/4) < c(0,1/2) < c(0,1). > Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > > ________________________________ > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
