Ola' pessoal,
queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para
calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta
do recado, antes que o XP entre no ar...:-)
Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho !
Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao "bem comportada" y=f(x) , a
aplicacao sucessiva de
x2 = x1 - y1/ f'(x1)
a partir de um ponto "x1" , que esteja "na vizinhanca" de uma raiz de f(x) ,
nos leva 'a propria raiz.
Considerando nossa funcao
y=2^x - x^2
temos que
x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x )
Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1.
Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 .
Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536
Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.76666491 , e na quarta iteracao
x2=-0.766664696 .
Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma
calculadora barata...
[]'s
Rogerio Ponce
Érica Gualberto Pongelupe <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi Todo mundo
use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um
software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.
Abração
Érica
Oi, Arthur (e Julio),
Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um
grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma
raiz negativa.... (entre -1 e 0).
Abraços,
Nehab
At 11:08 15/6/2007, you wrote:
Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar
se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou
seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) =
ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula
em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que
nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e.
Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente
em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim
x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os
reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em
(1/e, 0). Concluimos assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem
exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais
satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas
unicas raizes reais de 2^x = x^2.
Serah que hah outras raizes complexasnao reais?
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2
achar as raízes de 2^x = x^2
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Atenciosamente
Home Page: rumoaoita.com
Júlio Sousa
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