Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem precisa ter um limite. Basta que o limite de |b_n| seja 1. Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo: Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2. Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > raiz(1 - |a|^2). Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2). Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==> T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==> T eh uniformemente continua ==> T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja uniformemente continua em fecho(B). Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B). Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT) Assunto: Re:[obm-l] Isometria > > > > Ola Claudio. > Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto > B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma > sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia > ainda esta em B. > > Abs. > > Rivaldo. > > > Tem razao. Mancada minha... > > > > O problema eh provar que: > > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0, > > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} > > > > Aqui vai uma nova tentativa: > > > > Seja T(0) = a. > > Seja b um ponto qualquer de B. > > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. > > Eh claro que b tambem pertence a B. > > Entao: > > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) > > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**) > > Alem disso, > > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> > > igualdade na desigualdade triangular, > > que associada a (*) e (**) implica que: > > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. > > > > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n). > > Nesse caso: > > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==> > > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. > > > > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2. > > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento > > 2 eh a origem. > > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o > > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n. > > Conclusao: a = 0. > > > > Acho que agora foi... > > > > []s, > > Claudio. > > > > ---------- Cabeçalho original ----------- > > > > De: [EMAIL PROTECTED] > > Para: [email protected] > > Cópia: > > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT) > > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > > > >> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >> > > >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >> > Para: [email protected] > >> > Cópia: > >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT) > >> > Assunto: [obm-l] Isometria > >> > > >> >> >Ola Claudio. > >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos > >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a, > >> -b > >> nao colineares nao garante esse fato. > >> > >> Abs. > >> >> > >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria. > >> >> Provar que T(0)=0. > >> >> > >> > > >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em > >> relacao > >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao > >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a). > >> > > >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular > >> estrita: > >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| = > >> > |b - 0| + |0 - (-b)| = > >> > 2|b| = > >> > |2b| = > >> > |b - (-b)| = > >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao. > >> > > >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0. > >> > > >> > []s, > >> > Claudio. > >> > > >> > > >> > ========================================================================= > >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > ========================================================================= > >> > > >> > >> > >> ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> ========================================================================= > >> > >> > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
