Olá! Estou estudando cálculo numérico pela obra "Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais" e logo no primeiro exercício do primeiro capítulo estou em dúvida na obtenção da resposta. Irei colocar vários conceitos retirados do livro para que o exercício faça sentido no contexto do livro.
Exercício: Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: x = 0.7237*10^4 ; y = 0.2145*10^(-3) ; z = 0.2585*10^1 efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados: a) x + y + z b) x - y - z c) x/y d) (xy)/z e) x(y/z) Irei detalhar apenas a) pois os outros irei tentar resolver assim que sanar minha dúvida. Solução: Já que o problema diz que x, y e z estão exatamente representados podemos efetuar as operações com a quantidade de casas decimais que quisermos (existe até um exemplo no livro em que a operação é efetuada com a quantidade de casas necessárias, sem limitação). Dessa forma, seguindo a seqüência de operações e efetuando x + y primeiro, temos que passar a potência da base 10 de y para ser igual a 4 (no livro é citado que se passe o valor da menor potência para a maior antes dos cálculos). Assim: x + y = 0.7237*10^4 + 0.00000002145*10^4 = 0.72370002145*10^4 x + y + z = 0.72370002145*10^4 + 0.0002585*10^4 = 0.72395852145*10^4 Como a resposta deve ser dada com quatro dígitos: Truncamento: x + y + z = 0.7239*10^4 Arredondamento: x + y + z = 0.7240*10^4 (já que o quinto dígito é 5, essa é a resposta encontrada no final do livro) Qual seria a importância de informar um acumulador de precisão dupla??? Seria considerar os resultados intermediários com 8 dígitos decimais??? Qual a influência disso na resposta??? O livro cita que geralmente é efetuado truncamento ao invés de arredondamento porque o último necessita de mais tempo de execução. Erro Relativo após Truncamento: ER(x+y+z) < 10^(-3) Erro Relativo após Arredondamento: ER(x+y+z) < 0.5*10^(-3) O erro relativo que está como resposta no livro é ER(x+y+z) < 10^(-3), mas isso contraria a demonstração dada no próprio livro dos valores limite dos erros absoluto e relativo sendo que para o erro relativo seriam: Erro Relativo após Truncamento: ER < 10^(-t+1) Erro Relativo após Arredondamento: ER < 0.5*10^(-t+1) onde t é a quantidade de dígitos na representação da mantissa do número, que no caso deste exercício é 4. A demonstração dos erros é bem clara e realmente não entendi porque a resposta da operação é arredondada e o erro relativo encontrado é para uma operação de truncamento. Colocarei abaixo as respostas das outras letras. b) x - y - z = 0.7234*10^4 e ER < 1.0002*10(-3) (de onde surgiu esse 1.0002???) c) x/y = 0.3374*10^8 e ER < 0.5*10^(-3) d) (xy)/z = 0.6004 e ER < 10^(-3) e) x(y/z) = 0.6005 e ER < 10^(-3) Me desculpem se estou parecendo "folgado" por pedir a resolução destes problemas. Muito obrigado! -- Henrique
