Olá Artur,
[raiz(2) - 1]^n = raiz(m) - raiz(m-1)
elevando ao quadrado, ficamos com:
[raiz(2) - 1]^(2n) = m + m-1 - 2raiz(m(m-1))
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2raiz[m(m-1)]
raiz(m) = [raiz(2) - 1]^n + raiz(m-1)
assim:
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2{[raiz(2)-1]^n + raiz(m-1)} raiz(m-1)
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2raiz(m-1)*[raiz(2)-1]^n - 2m + 2
[3 - 2raiz(2)]^n = 1 - 2raiz(m-1)*[raiz(2)-1]^n
raiz(m-1) = { 1 - [raiz(2) - 1]^(2n) } / [raiz(2) - 1]^n
raiz(m-1) = 1/[raiz(2) - 1]^n - [raiz(2) - 1]^n
elevando ao quadrado, temos:
m - 1 = 1/[raiz(2) - 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 2
m = 1/[raiz(2) - 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 1
sabemos que x + 1/x >= 2.. logo: m >= 1 ... perfeito!
sendo a igualdade dada quando n = 0.
falta mostrarmos que é inteiro!
vamos racionalizar o 1/[raiz(2) - 1]^(2n).. assim:
m = [raiz(2) + 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 1
m = Sum_{i=0}^{2n} { C(2n, i) raiz(2)^(2n-i) [1 + (-1)^i] } - 1
vemos que os termos ímpares irão se anular.. assim, m é uma soma de
inteiros e é inteiro.
abracos,
Salhab
On 5/2/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas
nao vi.
Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m
-1), sendo m>=1 um inteiro.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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