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Cópia: Data:Thu, 26 Apr 2007 10:34:08 -0300 Assunto:Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números Olá Claudio! Estou com algumas dúvidas na sua resolução. > On 4/25/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > O enunciado implica que: > N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25) > N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7) > N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9) > N == 56 (mod 9) está errado né, seria apenas N == 2 (mod 9), pois um número natural (mod 9) resulta em um natural entre 0 e 8. N == 56 (mod 9) significa que 9 divide (N - 56). > Ou seja: > N == 6 (mod 25) > N == 0 (mod 8) > N == 0 (mod 7) > Nessas passagens você considera as seguintes igualdades: A = B.q1 + r1 B = C.D A = C.q2 + r2 r1 = C.q3 + r3 r2 = r3 (???) Onde A = N, B = 100, r1 = 56, C = 25, D = 4, r2 = r3 = 6 Gostaria de saber como pode ser demonstrado que o resto da divisão do resto da divisão de N por 100, que é 56, por 25 é igual ao resto da divisão de N por 25. N == 56 (mod 100) ==> 100 divide (N - 56) ==> 25 divide (N - 56) e 4 divide (N - 56). > n == 6 (mod 25) ==> > N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==> > Por que a = 2 (mod 9) ??? 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==> 9 divide (6 + 25*a - 2) ==> 9 divide (4 + 27*a - 2a) ==> 9 divide (4 - 2a) = 2*(2 - a) ==> 9 divide (2 - a), pois 9 é ímpar e, portanto, primo com 2 ==> a == 2 (mod 9) > a == 2 (mod 9) ==> > a = 2 + 9*b ==> > N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==> > b == 0 (mod 8) ==> > b = 8c ==> > N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==> > c == 0 (mod 7) ==> > c = 7d ==> > N = 56 + 12600*d > > Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou > equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45. > > Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o > algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de > 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, > pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não > é múltiplo de 126). > > Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45. > O N correspondente é 1.119.988.856. > Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado. > > Por enquanto, estou sem idéias. > > []s, > Claudio. > > > -- Henrique
