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Cópia: Data:Tue, 27 Mar 2007 15:06:17 +0000 Assunto:[obm-l] algebra complexa dos complexos > Sauda,c~oes, > > Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos > números complexos: uma do Morgado (minha) e > outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei > (surrupiei, afanei :<) ) de um irmão. > > Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados, > outros não. > > Um teorema muito útil é o seguinte: > > Teorema 7 no M: A soma das potências de expoente m > das raízes de índice n da unidade é igual a n se m é > múltiplo de n e igual a zero, caso contrário. > > Demonstração: m = pn é trivial. m <> pn é um bom > exercício de De Moivre e PG. > Se m <> pn, então existem q e r em Z tais que: m = qn + r, com 0 < r < n. As raízes n-ésimas da unidade são: 1, w, w^2, ..., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n). w^n = 1 ==> w^m = w^(qn+r) = w^r. Mas se 0 <= r <= s < n e w^r = w^s, então w^(s-r) = 1 ==> s = r ==> os números w^r (r = 0, 1, ..., n-1) são distintos dois a dois ==> estes números são justamente as raízes n-ésimas da unidade (em alguma ordem), cuja soma é igual a 0. > Teorema 8: As raízes comuns às equações x^m - 1 = 0 > e x^n - 1 = 0 são as raízes da equação x^d - 1 = 0 > onde d = (m,n). A demonstração será omitida. > Basta ver que mdc(x^m-1,x^n-1) = x^d-1. > > Depois mando o Teorema 6, que trata do número de > raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem > demonstração. > Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos com n. []s, Claudio.
