Saudações para todos! Vamos "cortar" o cilindro (o copo) exatamente, na geratriz onde a formiguinha está. Com isso formamos um retângulo, de 12cm X 24cm, onde a formiguinha se encontra exatamente sobre o lado de 12cm (se lembre onde nós optamos cortar o cilindro), a 1cm de distância de um dos vértices desse lado. Vamos dizer que esse vértice é o vértice A. O outro vértice desse mesmo lado onde a formiga se encontra é C. O outro vértice do lado de 24cm onde está o vértice A, é B. E último dos vértices desse retângulo será D. Suponha que a formiga se encontra no ponto M, e a gota de mel no ponto N. Logo, temos que MA = 1cm, e d(N , AB) = 4cm, e d(N , AC) = d(N , BD) = 12cm (interprete d(X , PQ), como a distância do ponto X ao segmento PQ). Note que, do ponto de vista do nosso retângulo, o significado que temos de que a formiga "entrou" no copo é de que a formiga "tocou" no segmento AB. Portanto seja P o ponto de AB onde a formiga "entra" no copo. Desse modo, o caminho que a formiga percorrerá será MP + PN, para minimizá-lo, devemos ter que MP e PN façam o mesmo ângulo com o segmento AB (isso é algo bem conhecido, e tem uma dedução um tanto simples, quando estudamos ótica isso surge na reflexão dos espelhos planos, utilizando um princípio conhecido como Princípio de Fermat). Portanto, se tivermos PA=a, e PQ=b (Q é o ponto de encontro da geratriz do cilindro onde se encontra a gota de mel, com o segmento AB do nosso retângulo), então: a + b = 12, 1/a = 4/b <=> a = 12/5 e b = 48/5, e o caminho percorrido pela formiga é encontrado como a soma das hipotenusas MP e NP, onde sabemos o tamanho dos seus catetos. Um pouco de conta nos mostra que o caminho percorrido pela formiga será de 13cm (Letra D).
> Date: Thu, 22 Mar 2007 22:37:40 -0300> Subject: [obm-l] Inseto e Geo > espacial> From: [EMAIL PROTECTED]> To: [email protected]> > Colegas..ralei > nessa e nada...> > Um copo cilindrico tem 12 cm de altura e uma > circunferência da base medindo 24 cm. Um inseto está do lado de fora do copo, > a 1 cm do topo, enquanto do lado de dentro, a 4 cm do topo, está uma gota de > mel. a gota e o inseto encontram-se em geratrizes desse cilindoro reto que > são simétricas em relação ao seu eixo. desprezando-se a espessura do copo, a > menor distãncia, em cm, que o inseto deve andar para atingir a gota de mel é > > > A) 17 B)4+SQRT(45) C)1+4*SQRT(10) D)13 E)5*SQRT(5)> > > > =========================================================================> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> > ========================================================================= _________________________________________________________________ Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo messenger-- GRÁTIS http://get.live.com/messenger/overview
