Oi Marcelo, A ideia eh que se x é autovalor de A, entao x^k eh autovalor de A^k, pois Au = xu => (A^k)u=(x^k)u. Como A^k = 0 e autovetores sao nao nulos, isso significa que x^k=0, ou seja, x=0.
On 2/22/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá Marcio, se A é nilpotente, entao existe k, tal que: A^k = 0 A^k - sI = -sI .... det(A^k - sI) = (-s)^n, onde n é a dimensao de A assim, o unico autovalor de A^k é 0, pois é o unico que zera (-s)^n... nao consegui provar que A tem os autovalores nulos =/ dps tento novamente abracos Salhab ----- Original Message ----- From: "Marcio Cohen" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[email protected]> Sent: Monday, February 19, 2007 5:18 PM Subject: Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001 Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 => 1 é autovalor de A (contradição!). A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são todos nulos. Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Pessoal, > tava olhando essa questão: > > Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB > = A+B. Show that det(B) = 0. > > Source VUMC 2001 > > Vi uma solução que o cara fala o seguinte: > > A^2001=0 => A is nipoltent detA=0 > lemma: If X,Y commute, Y nilpotent > then det(X+Y)=detX > > Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) > e se o lemma dele ali é verdadeiro, > > Forte abraço, > Jhonata Emerick Ramos > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
