Parabéns Henrique, pela bela resolução !!!
----- Original Message -----
From: Henrique Rennó
To: [email protected]
Sent: Friday, February 09, 2007 9:55 AM
Subject: Re: [obm-l] Etiqueta (era: Quesitos fu*******!!!)
Olá Sr. Nicolau,
Bom dia!
Acredito que exista uma forma mais genérica de resolver o problema ao invés
de testar valores para X e Y:
Considere o número XXYY como 1000X + 100X + 10Y + Y = 100X(10+1) + Y(10+1) =
11(100X+Y)
Como o número XXYY é um quadrado perfeito ele possui um número par para cada
um de seus fatores primos, caso contrário não seria possível extrair a raíz
quadrada. Por exemplo, o número 225 que é um quadrado perfeito possui 3,3,5,5
como fatores primos e SQRT( 3.3.5.5) = 3.5 = 15.
Como sabemos que XXYY é igual a 11(100X+Y) o número 100X+Y é múltiplo de 11,
de modo que ele possua pelo menos 2 fatores primos 11.
Sendo 100X+Y divisível por 11 fazemos: 100X+Y = 99X+X+Y. Já que 99X é
múltiplo de 11, para 100X+Y ser múltiplo de 11, X+Y tem que ser também.
Ao efetuarmos a divisão 99X+X+Y por 11 teremos 9X+1, pois X+Y só pode ser 11
já que são dígitos unitários que somados dá no máximo 18 (X+Y igual a 0 também
nos fornece um múltiplo de 11 mas isso seria considerar X e Y iguais a 0 não
sendo o número XXYY de 4 algarismos desejado).
Os valores de X e Y que somados dá 11 são: 2,9 | 9,2 | 3,8 | 8,3 | 4,7 | 7,4
| 5,6 | 6,5
Agora temos que 9X+1 também é um quadrado perfeito (após a divisão de XXYY
por 11.11) , ou seja: k^2 = 9X+1 -- k^2-1 = 9X. O único valor de k que nos
fornece um múltiplo de 9 é k = 8 (aqui temos que testar valores). Substituindo
k achamos X = 7 e conseqüentemente Y = 4 (pelo conjunto de pares de valores
listados acima), sendo a resposta 7744.
Abraços!
On 2/9/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Gostaria de pedir um pouco mais de cuidado com as palavras que são usadas,
especialmente no subject. Lembrem-se que estas mensagens ficam arquivadas
na minha home page, que o engenho de busca da PUC acessa estas mensagens,
que o nome da OBM está envolvido e que criancas fazem parte do público-alvo
da lista.
On Thu, Feb 08, 2007 at 11:57:58PM -0200, ivanzovisk wrote:
> 1- Tirar a Raiz Quadrada de XXYY (XXYY eh um numero de 4 algarismo que
tem os
> dois primeiros digitos iguais e os dois ultimos digitos tambem iguais)
> sabendo que ele eh quadrado perfeito.
A resposta é 88 pois 88^2 = 7744 é a única solucão.
Este problema é um pouco trabalhoso.
Uma forma de atacar é considerar o possível valor de Y.
Por exemplo, Y não pode ser 0 pois não existe nenhum quadrado da forma XX.
Y também não pode ser 1 pois nenhum quadrado acaba em ...11
como pode ser visto facilmente via congruência módulo 4.
Continue excluindo casos assim e você acaba provando que a solucão é única.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Henrique
