Peco desde já desculpas por mandar esta mensagem só depois de a discussao estar avancada, mas acho que alguns comentários sao necessários.
A questao original é: > (EN-86) O valor da soma das raízes comuns às equações > x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = 0 e x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2 = 0 é: > a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. Sejam p1 e p2 os dois polinomios do enunciado. Vamos calcular o mdc pelo algoritmo de Euclides: p3 = p1 - p2 = -4x3 + 17x2 - 8x + 1 é o resto da divisão de p1 por p2. A divisão de p2 por p3 dá um pouco mais de trabalho mas o resto é p4 = 34/16 (x2 - 4x + 1) (este fator 34/16 é lixo para fins da questão). A divisão de p3 por p4 dá resto 0 donde o mdc é p4 ou, o que dá na mesma, x2 - 4x + 1. Assim a soma das raízes é 4, opcão (e). Uma vez encontrado o mdc é fácil mas desnecessário calcular as raízes: 2 +- sqrt(3). Depois de calculado o mdc também fica fácil fatorar p1 e p2: p1 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 3x + 3) p2 = (x2 - 4x + 1)(x2 + x + 2) Não tenho certeza se é muito boa idéia tentar fatorar os polinômios antes de calcular o mdc (ou calcular o mdc via fatoracão). Se os graus fossem mais altos isto certamente seria bem mais trabalhoso do que calcular o mdc por Euclides mas aqui o grau é relativamente baixo. Se você conjecturar (corretamente!) que a questão não é maliciosa a ponto de pedir a soma das raízes comuns quando não existe raiz comum nenhuma, e se você verificar (o que é fácil) que nem p1 nem p2 tem raiz inteira então p1 e p2 devem forcosamente fatorar assim: p1 = (x2 + bx + c)(x2 + dx + e) p2 = (x2 + bx + c)(x2 + fx + g) onde b,c,d,e,f,g são inteiros. Temos ce = 3 e cg = 2 donde c deve ser 1 ou -1. Temos assim dois casos para testar: p1 = (x2 + bx + 1)(x2 + dx + 3) p2 = (x2 + bx + 1)(x2 + fx + 2) ou p1 = (x2 + bx - 1)(x2 + dx - 3) p2 = (x2 + bx - 1)(x2 + fx - 2) e a partir daqui é bem fácil verificar que o segundo dá errado e que o primeiro obtem a fatoracão desejada (e resolve a questão). Cometários sobre os comentários. Marcus Vinicius Costa escreveu: > Sugiro resolver a seguinte equacão: > x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2 > a solucão da equacão é a resposta procurada. Esta equacão é do terceiro grau e não é óbvio que ela possa ser resolvida com as ferramentas usuais do ensino médio. Mas no caso, pode sim. A equacão pode ser reescrita como p3 = 0 (para o p3 acima) e é fácil encontrar a raiz racional x = 1/4. Esta raiz permite fatorar p3 como: p3 = -(4x-1)(x2-4x+1) que tem raizes 1/4, 2+sqrt(3) e 2-sqrt(3). Basta agora testar cada uma destas raízes para ver quais (se é que alguma) é raiz comum. De fato, 2+sqrt(3) e 2-sqrt(3) são raízes de p1 e p2 mas 1/4 não é. > Acho que usar o Teorema seria trabalhoso, pois para fazer o MDC das > duas funcões seria necessário fatorá-las e para isso precisaria > achar as raízes, o que pode ser fácil ou não. Não é necessário fatorar para achar o mdc (calculamos o mdc lá no alto por Euclides, sem fatorar nada) e também não é necessário achar as raízes para fatorar (fatoramos acima sem achar as raízes). Se algo é verdade, é a recíproca: o aluno de ensino médio só tem chance de achar as raízes de p1 e p2 fatorando. Em resposta a isso, Carlos Gomes respondeu: > Marcus, o seu procedimento não é legal ( verdadeiro), pois se a é uma raiz > comum é verdade que a igualdade > x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2 > ocorre, mas a recíproca é falsa, isto é se > x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2 > não implica que x seja uma raiz comum as duas equações. Correto, o contraexemplo é x = 1/4. O que o Marcus propos é correto apenas se ele estiver disposta a depois *checar* as raízes (e como ele não fez as contas não tenho certeza se ele pretendia checar). Mas acho que o Carlos se atrapalhou no contraexemplo, ou então fui eu que não entendi nada: > Veja o contra-exemplo: > x-1 = x^2-3x+2 tem como raízes 1 e 2 Não tem não! As raízes são 1 e *3*! > e entretanto 1 e 2 não são evidentemente raízes comuns > as equações algébricas x-1=0 e x^2-3x+2=0, visto que o número 2 > só eh raiz da segunda equação. De fato, 2 é raiz da segunda mas não da primeira mas não é raiz da diferenca. E 3 é raiz da diferenca mas não é raiz de nenhuma das duas equacões "originais". Em geral, se q1(x) = 0 e q2(x) = 0 segue que (q1-q2)(x) = 0 e se q1(x) = 0 e (q1-q2)(x) = 0 segue que q2(x) = 0. Ou seja, uma raiz da diferenca *ou* é raiz comum *ou* não é raiz de nenhuma das duas equacões. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
