Olá Nehab,
bom.. eu faria alguma coisa do tipo:
f(xy) = f(x) + f(y)
tomando y=1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .... f(1) = 0
tomando y=1/x, temos: f(x/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0 .... f(1/x) = -f(x)
por inducao, mostramos que f(a1 * a2 * ... * an) = f(a1) + f(a2) + f(a3) +
... + f(an)
por inducao, mostramos que: f(x^n) = nf(x), para n natural...
mas, f(x^(-n)) = f(1/x^n) = -f(x^n) = -nf(x) ... logo, extendemos para os
inteiros..
seja a = p/q, p, q inteiros, q != 0, entao: f(x^a) = f(x^(p/q)) = p
f(x^(1/q))...bom,
um dia eu ja consegui fazer essa prova pra racionais, mas nao estou
conseguindo
agora! se alguem puder mandar ai... :) ou, se eu conseguir, mando em outra
mensagem...
entao, apenas voltando: provei algumas propriedades da funcao...
mas acredito que nao tenha como provar que é a funcao logaritmo... pq acho q
a funcao nao é unica...
aqui, coloco uma outra duvida: apos mostrar para os racionais, faltaria
mostrar para os irracionais para
valer para os reais... como mostrar para os irracionais? alguem tem alguma
ideia?
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Friday, November 03, 2006 2:37 AM
Subject: Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Renan e Salhab
Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse
que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam?
Abração,
Nehab
At 22:40 2/11/2006, you wrote:
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:
1
seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e
controdominio os reais, tal que
f(1) = 0
f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0)
Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)
e sabendo que
Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e
Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é
a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) +
f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para
resolver essa
2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)
Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema
log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2
X² - 4Y² = 4
Então Xo + Yo vale
a) 7/4
b) 9/4
c) 11/4
d) 13/4
e) 17/4
A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?).
Infelizmente não é um método muito confiável =)
Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.
A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!
--
Abraços,
Jonas Renan
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.26/516 - Release Date: 3/11/2006
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
