On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e > talvez seja mesmo): > > Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. > Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.
Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho que a demonstração não deve ser tão simples assim. Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0 onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido. Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável. Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum subintervalo cujo fecho inclua 0. Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade nem sempre implica localmente Lipschitz. A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas. Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua) ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert, respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços o problema análogo é fácil. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
