x^(2n) - 1 = (x-1)(x+1)*PRODUTO(k=1...n-1)((x-w^k)*(x-w^(-k)), onde w = cis(pi/n). Cada fator do produto eh igual a (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1). Logo, (x^(2n)-1)/(x^2-1) = 1 +x^2 + x^4 + .... + x^(2(n-1)) = PRODUTO(k=1...n-1)(x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x+1)
x = 1 ==> n = PRODUTO(k=1...n-1)(2-2*cos(k*pi/n)) = 2^(n-1)*PRODUTO(k=1...n-1)(1-cos(k*pi/n)) x = -1 ==> n = 2^(n-1)*PRODUTO(1+cos(k*pi/n)) Multiplicando, vem n^2 = 2^(2n-2)*PRODUTO(k=1...n-1)(1-cos^2(k*pi/n)) Como 1 - cos^x = sen^x, eh soh tirar a raiz quadrada dos dois membros e observar que, para x entre 0 e Pi, sen(x) > 0. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Sat, 21 Oct 2006 09:18:09 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] DUVIDA > > > "Salhab [ k4ss ]" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, > > acho que achei uma saida.. > > exp(ak * i) - exp(a * i) = -2i * sen[a/2 * (k-1)] * exp[a/2 * (k+1) * i] > > logo: || exp(ak * i) - exp(a * i) || = 2 * sen[a/2 * (k-1)] > > assim: \prod_{k=2}^{n} || exp(ak * i) - exp(a * i) || = \prod_{k=2}^{n} 2 * > sen[a/2 * (k-1)] > > basta tomar: a = 2*pi/n .... a/2 = pi/n > > logo: (A1A2)*(A1A3)*...*(A1An) = \prod_{k=2}^{n} 2 * sen[pi/n * (k-1)] = > 2^(n-1) * sen(pi/n) * sen(2pi/n) * ... * sen[(n-1)pi/n] > > agora, basta provarmos que: 2^(n-1) * sen(pi/n) * sen(2pi/n) * ... * > sen[(n-1)pi/n] = n > > ------------------------------------------------------------------------------------------- > > eu tbm cheguei ateh aih cara(naum assim,mas com lei dos cossenos) > daih eh q tah foda de sair :/ > > vlw! > > > --------------------------------- > Yahoo! Search > Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
