Ola Eduardo,
A sua resposta esta correta : parabens !
Eu so proponho problemas que ja foram resolvidos por algum matematico do
passado e cuja solucao me pareceu interessante e podem ser resolvidos aqui
sem conhecimentos mais profundos e com criatividade OU problemas que eu
mesmo descobri e que ja resolvi. E claro que tambem ja publiquei
conjecturas, mas muito poucas.
No caso particular desde problema, eu estava lendo um dos livros da obra
completa do Euler e me deparei com ele : e bonito, e simples e nao envolve
matematica avancada. Por isso publiquei. Alias, e lendo as obras originais
de um grande Matematico que voce aprende "ao vivo" quanta intuicao, erros e
falsas suposicoes estes caras produzem antes de gerarem os belos resultados
que conhecemos... Constatei a mesma coisa quando li a memoria original do
Galois e alguma coisa do Lagrange.
Muitas vezes algumas pessoas pedem solucoes. Se for pequena e facil de
explicar eu ainda tento fazer, mas quando e longa, em geral nao dispomos de
tanto tempo para parar e ficar escrevendo. Mas as sugestoes que dou sao
honestas, mesmo que nao sejam muito claras. Aqui um problema que descobri,
na mesma linha do do Euler mas um pouco mais dificil :
PROBLEMA ) Sejam A e B dois pontos do plano cartesiano nao alinhados
verticalmente. Considere todas as curvas que passam por A e B e que, neste
intervalo, sejam convexas ( barriga pra baixo ) neste intervalo e tenham o
mesmo comprimento L. IMAGINE que soltamos um corpo puntiforme de massa M do
ponto ( A ou B ) de maior ordenada e que este corpoe desliza sem atrito ate
o outro ponto, submetido unicamente ao campo gravitacional uniforme "g".
suposto constante e vertical em todos os pontos. Ao longo de que curva
Y=f(X) o tempo para ir de um ponto ao outro sera maximo ?
Eu batizei esta curva de MAXTOCRONA. Se nao cometi nenhum erro e um ARCO DE
EVOLUTA DO CIRCULO. Como provar isso ?
Considere, a principio, o caso em que a curva Y=f(X) sao dois segmento de
reta e preste atencao no angulo que elas devem forma. Passe para tres
segmento e assim sucessivamente. Isso vai fazer voce suspeitar da Evoluta.
Suponha que e a evoluta e faca a prova ( Detalhe : na abordagem desta
questao terminei descobrindo novas propriedades da cicloide )
O problema nao e dificil, mas a solucao e bastante trabalhosa
Um Abracao pra voce !
Vamos recuperar o espirito olimpico desta nossa tao cara lista
Paulo Santa Rita
4,2157,200906
From: Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [email protected]
To: [email protected]
Subject: [obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola)
Date: Wed, 20 Sep 2006 20:41:28 +0000 (GMT)
Paulo Santa Rita escreveu em
Mon, 26 Jun 2006 07:09:17 -0700
Um fato notavel e talvez surpreendente sobre a parabola Y=X^2 pode ser
descoberto resolvendo a seguinte questao: IMAGINE que a parabola Y=X^2 rola
sem deslizar sobre o exiso dos X, tanto para a direita como para a
esquerda. Qual o lugar geometrico descrito pelo foco da parabola ?
Costumo dar uma espiada nos problemas da lista que ainda estão em aberto,
mas quando encontro algum do Paulo, uma espiada só não é suficiente...
O problema foi colocado, como é usual,como uma parábola que rola, mas,
como ela não pode dar uma volta preferí pensar numa parábola basculante e
a imaginação me remeteu ao gingado malemolente de uma bela mulata, no bom
estilo de Arí Barroso.
A dedução está no anéxo da mensagem (devido ao desenho), onde concluímos
que a trajetória do foco é uma catenária.
De fato, como lá escreví, aparece uma propriedade interessante:
considerando-se a parábola de equação Y=(p/2).X^2, a normal num ponto de
ordenada Y intersepta o eixo de simetria à uma distância p/2 + Y do foco.
Seria esse mesmo o fato ao qual você se referiu Paulo?
Na dedução utilizei uma propriedade muito conhecida e usada, tanto em
Desenho, para traçar a tangente e/ou a normal, quanto na Física, em óptica
geométrica (lentes)ou em espelhos (ou antenas) parabólicas, como exemplos:
A normal é bissetriz do ângulo entre uma paralela ao eixo (que passa pelo
ponto P da parábola) e a reta que une P ao foco.
Como a parábola não desliza a abcissa do ponto de apoio ou de
tangência ao eixo dos x, referido à posição inicial do vértice (quando o
eixo dos y é o eixo de simetria), é o comprimento do arco, do vértice ao
ponto P, s , obtido pela integração de
sqrt[1+(dY/dX)^2].dX que nos fornece
S = p/2[ln(sec t + tg t) + sec t. tg t ,
onde tg t = dY/dX = X/p.
Obtemos as equações paramétricas;
x = p/2.ln(sec t + tg t) e y = p/2.sec t,
ou eliminando t,
y = p/2.cosh(2x/p)
Abraços
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