Olá,
bom, vc esta fazendo o seguinte:
criando um sequencia, tal que:
x_(n+1) = [ x_n + 5 ] / 2, onde x1 é o numero inicial....
vamos primeiramente supor que converge.. entao:
lim x_n = a
logo: lim x_(n+1) = lim [ x_n + 5 ] / 2 = [ lim x_n + 5 ] / 2 ... logo: a =
(a + 5) / 2 ... a = 5!
legal.. agora só precisamos mostrar que a série converge...
se escolhermos um x1 = 5, está obvido que x_n é constante e igual a 5...
agora, se x1 > 5, temos que: 5 < x2 = (x1 + 5) / 2 < x1 .... 5 < x3 = (x2 +
5) / 2 < x2 ...
assim, x_n é uma sequencia decrescente... logo, monótona...
mas... 0 < x_n <= x1 ........ logo, limitada... portanto: converge!
agora, se x1 < 5, temos que x1 < x2 = (x1 + 5) / 2 < 5 .... x2 < x3 = (x2 +
5) / 2 < 5 ....
assim, x_n é uma sequencia crescente ... logo, monótona...
mas... x1 <= x_n < 5 ......... logo, limitada... portanto: converge!
bom, nao fui nada formal.. mas acho que isso é uma coisa tranquila de se
mostrar...
basta saber que a media aritmetica de 2 numeros esta entre estes....
um abraço,
Salhab
----- Original Message -----
From: "Josh Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM
Subject: [obm-l] Série
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:
"João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma
dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5
e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele
somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 .
Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn
Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor
tivesse iniciado a seqüência de operações,
João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que
número era esse?"
É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria
de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.
Muito obrigado pela atenção.
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