Este enunciado estah contraditorio. Diz que f nao eh derivavel em c e depois diz que f eh derivavel em c.
Um resultado valido eh o seguinte: suponhamos que f:I -> R seja definida em um intervalo I, seja continua em c pertencente a I, seja derivavel em todo x<> c de I e lim (x -->c) f'(x)= a. Entao f e derivavel em a e f'(c) = a. Uma forma simples de ver isto eh usar a regra de L'Hopital. Para todo x de I distinto de c, seja g(x) = ((f(x) - f(c))/(x-c). As funcoes do numerador e do denominador sao derivaveis eh a relacao entre suas derivadas eh f'(x)/1 = f'(x). Por hipotese, lim (x -->c) f'(x)= a. Como f eh continua em c, lim (x -->a) f(x) - f(c) = 0. E como x-c nao se anula em I para x<>c, as condicoes requeridas pela Regra de L'Hopital sao satisfeitas, dela deduzindo-se que lim (x --c) g(x) = lim (x--c)((f(x) - f(c))/(x-c) = a. Pela definicao de derivada, concluimos que f eh derivavel em c e que f'(c) = a. Uma conclusao adicional deste fato eh que f' eh continua em c, pois lim (x-->c) f'(x) = f'(c). Assim, se f eh derivavel em c e f' tem limite em c, entao f' eh continua em c. Logo, se f' for descontinua em c, entao f' nao pode apresentar limite em c, o que nos remete aa conhecida conclusao de que derivadas nunca apresentam descontinuidades do tipo salto. Consideracoes similares valem aa direita e aa esquerda de c. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de guilherme S. Enviada em: quarta-feira, 2 de novembro de 2005 20:03 Para: [email protected] Assunto: [obm-l] Calculo Pessoal, Queria uma ajuda nessa questão aqui oh: seja A contido em IR aberto e f: A --> IR contínua. Se c pertence a A e f so não eh derivavel no conjunto A em c e existe o limite lim (x -->c) f ' (x)=alpha, então f eh derivavel em c e vale f ' (c)=alpha . valeu pessoal. []'s guilherme. _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
