[17/10/2005, [EMAIL PROTECTED]: > O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido > esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos > esta discussao, a solucao eh bem obvia:
> Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos > reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I > eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um > subconjunto proprio de R. > Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I > como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. > Isto > certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo > r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. > Artur Enumere os racionais do intervalo [-3, 3] como p_1, p_2, ... e faça r_(2^n) = p_n; enumere R \ [-3, 3] com os elementos da enumeração r que sobraram; escolha x_n = 1/n. Então o intervalo [-2, 2] só pode ser coberto com intervalos com centro em [-3, 3]. Mas |I inter [-2, 2]| <= 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 < |[-2, 2]|, logo I != R. []s, -- Fábio Dias Moreira
pgpi8418VFsP2.pgp
Description: PGP signature
