Renato G Bettiol wrote:
Carissimos,
hoje me entreti bastante na resolução do seguinte problema,
aparentemente de um vestibular da UFMG:
*"Dentre setores circulares de mesmo perímetro, determinar aquele de
maior área".*
Vale a pena tentar, fazer recorrendo ao cálculo do valor máximo da
função quadrática que relaciona o comprimento
do arco do setor em questão e sua área. Ao fim das contas dará que o
ângulo central deve ser igual a 2rad.
Quem se interessar na resolução, mande um e-mail,
Abraços
Renato
Seja /x/ o lado do círculo e /l/ o comprimento do arco. Tomando como
unidade o perímetro do setor tem-se 2/x+l = /1, ou seja /l /= 1-2/x/. Se
/a/ é o ângulo central, então /a/ = (1-2/x)///x/. A área do setor vale
/S(x)/ = /x²*/(1-2/x/)/2/x/ =/ x/(1-2/x/)/2. /S(x) /será máxima para
/x/=1/4, ou seja quando o ângulo /a = 2 rad/.
Uma outra maneira como /2x + l /é constante, o produto de /2x/ e /l/ (do
qual a área é um quarto) será máximo quando /2x = l =/ 1/2, ou seja x =
1/4 e assim continua...
[]'s MP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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