Oi gente,
O 1 sai usando a útil identidade (que também vale para
matrizes quadradas)
A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)
(para números complexos, troque I por 1).
Por definição, uma matriz A é nilpotente quando A^m =
0 para algum m inteiro positivo. Observe que nem toda
matriz nilpotente é nula; por exemplo, as matrizes A
quadradas de ordem n que possuem todas as entradas
nulas exceto uma que não esteja na diagonal principal
satisfaz A^2 = 0.
Neste caso, a matriz precisa ser n por n; o produto AB
(nesta ordem) de duas matrizes A m por n e B p por q
só é definido quando n = p. Então A^2, que é A vezes
A, só está definido para A m por n quando n = m, ou
seja, quando A é quadrada.
OK, usando a identidade acima o problema de provar que
A - I é inversível e mesmo o de achar o inverso fica
simples: sendo k tal que A^k = 0, temos
A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)
<=> -I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)
Logo A-I é inversível e sua inversa é
-(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I).
[]'s
Shine
--- admath <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> 1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A
> -In é inversível e obtenha sua inversa.
> Gostaria de saber como resolvo este
> tipo de questão organizadamente, separando a
> hipótese a tese, essas coisas.
>
> 2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I
> Por que preciso
> garantir a matriz A sendo nxn?
>
> Obrigado.
>
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