Voce prova em tres passos,
AA) E SEPARAVEL
Para todo "a" em L, construa o conjunto :
C(a) = { f(a); f em H }
Notemos que :
1 - C(a) e finito, pois H e finito. Alem disso, como H e grupo, "id" esta
em H. Logo : a=id(a) pertence a C(a).
2 - Para todo g em H, g(C(a)) = { gof(a); f em H } esta contido em C(a).
Como g e K-automorfismo, em particular, g e injetivo. Logo, g injetivo e
C(a) finito implicam : g(C(a))=C(a)
Fixado isso, considere o polinomio :
F(a)=PRODUTORIO (X - B), B variando em C(a)
Claramente que f(a) e um polinomio de L[X]
Como g(C(a))=C(a) para todo g em H segue que para todo g em H, teremos :
F(a,g)=PRODUTORIA(X-g(B))=PRODUTORIO(X-B)=F(a), B variando em C(a)
E esta igualdade acima que nos permite afirmar que o polinomio F(a) esta no
anel de polinomios do corpo fixo de H pela correspondencia de Galois. Ora, o
valor de F(a) no ponto "a" e zero, claramente, pois "a" pertence a C(a).
Daqui concluimos que "a" e algebrico. Como o seu polinomio minimo dividira
F(a) e F(a) e claramente separavel, segue que este polinomio minimo e
separavel.
Isto estabelece que a extensao e separavel.
BB) E FINITA
Chamarei o corpo fixo de H pela correspondencia de Galois de L^H. Sabemos
que H e um sugbrupo de Aut(L|K) e que H e finito. Para mostrar que L|L^H e
finita, mostraremos que :
[L : L^H] =< |H|
O que o autor que dizer e o seguinte : suponha que [L : L^H] > |H|. Entao L
# L^H, vale dizer, L^H esta contido em L e e diferente de L. Entao existe x1
pertencente a L - L^H. Segue que o o menor corpo que contem L^H e x1, isto
e, L^H(x1), e tal que L^H # L^H(x1).
Se for [L^H(x1) : L^H] > |H| teremos :
L^H esta contido em L^H(x1) esta contido em L
Ora, nos ja mostramos que L|L^H e separavel. Logo, L^H(x1) | L^H e
separavel. Mais que isto, ela e finita, pois todo elemento de L e algebrico
sobre L^H. Em particular, x1 e algebrico sobre L^H. Segue, pelo teorema do
elemento primitivo, que existe um y em L^H(x1) tal que L^H(x1)=L^H(y). E dai
chegamos a :
|H| < [L^H(x1) : L^H]=[L^H(y):L^H]=grau de polinomio minimo de y em L^H <
F(y) =< |H|
... um evidente absurdo ! Segue que nao podemos ter [L : L^H] > |H|. Isto
estabelece que a extensao e finita
OBS1 : Quando, acima, falamos "se for [L^H(x1) : L^H] > |H| ..." e claro
que poderiamos chegar ao caso em que [L^H(x1) : L^H] =< |H| e o argumento
falharia. Claramente que, nesta circunstancia, tomariamos um x2 em L -
L^H(x1) e construiriamos o corpo minimo L^H(x1,x2) e repetiriamos o
raciocinio. E assim sucessivamente até termos um corpo minimo L^H(x1,...,xn)
tal que ocorrese o fato que desejamos, vale dizer, ate que [L^H(x1,...,xn) :
L^H] >|H|
OBS2 : Na passagem acima, F(y) e o polinomio F(a) que construimos acima,
vale dizer, o polinomio representado por F(y) e : F(y)=PRODUTORIO(X-B), B
variando em C(y), C(y)={f(y); f em H}.
CC) E NORMAL
Como L|L^H e finita entao : | Aut(L|L^H)| =< [L:L^H] =< |H|. Como H e
subgrupo de Aut(L|L^H) entao |H| =< | Aut(L|L^H)|. Segue que |H| =< |
Aut(L|L^H)| =< [L:L^H] =< |H|. Donde deduzimos que |Aut(L|L^H)|=[L:L^H]
Isto estabelece que L|L^H e normal e que H=Aut(L|L^H)
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