Oi Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Resposta correta.
Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem resolveu um problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das quais deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opcao correta. Eu invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta :
Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e irracional
E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numeros transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui entrou o GUGU, reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao haviam hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A reclamacao dele, correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um problema : este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...
Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", o restante ( o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, r=t^r. Daqui sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem perante algumas assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera linchado e execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pessoas de essencializar
o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao muitas !
Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o "e" as demais hipoteses.
Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado esquerdo do cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito estude as sequencias da forma X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a um "raio de convergencia".
E com os melhores votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita 3,2154,170505
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [email protected] To: "obm-l" <[email protected]> Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva. Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
> Ola Pessoal desta
> lista ... OBM-L,
>
> Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se nao me
> falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma menos geral.
> Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
>
> Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebrico.
> Definimos a sequencia :
>
> A(1) = T
> A(N+1) = T^A(N)
>
> Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N
> suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue provar ou
> refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMENTE, o
> teorema de Gelfond.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 3,1242,170505
>
>
Oi, Paulo:
Se lim A(n) existe e � igual ao racional r, ent�o lim A(n+1) = r. Portanto, teremos: r = t^r ==> t = r^(1/r) = alg�brico ==> contradi��o, pois estamos supondo que t � transcendente.
Logo, ou lim A(n) n�o existe ou existe mas � irracional.
Assim, a senten�a:
lim A(n) � racional ==> A(N) � alg�brico para algum N suficientemente grande
� verdadeira, j� que a sua premissa � falsa.
Era isso o que voc� tinha em mente?
[]s, Claudio.
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