| De: | [EMAIL PROTECTED] |
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| Data: | Tue, 10 May 2005 13:29:20 +0000 |
| Assunto: | [obm-l] Grupo e Subgrupo - Ajuda |
Amigos, por favor me ajudem nessas duas quest�es:
1) Seja G um grupo abeliano finito no qual o n�mero de solu��es em G da equa��o x^n = e � no m�ximo n. Mostre que G � c�clico.
Voc� por acaso tirou este a� do Herstein (Topics in Algebra)?
Este problema precisa de um lema preliminar (um outro exerc�cio do Herstein) n�o muito dif�cil de se provar:
Se G � um grupo abeliano e a e b dois elementos de G cujas ordens s�o m e n com mdc(m,n) = 1, ent�o ab tem ordem mn.
Seja |G| = m = p1^k1*...*pr^kr.
Suponhamos que G seja abeliano mas n�o seja c�clico.
Se m tem r divisores primos distintos, usamos r-1 vezes o lema e conclu�mos que, dentre estes, existe um primo p tal que:
i) p^k || m (ou seja, k � o maior inteiro tal que p^k divide m)
e
ii) nenhum elemento de G tem ordem p^k.
Caso contr�rio, G teria elementos a1, ..., ar cujas ordens seriam p1^k1, ..., pr^kr, respectivamente, e nesse caso, pelo lema 2, a = a1*...*ar teria ordem m, fazendo de G um grupo c�clico gerado por a ==> contradi��o.
Ou seja, se a pertence a G e a^(p^k) = e, ent�o a^(p^(k-1)) = e.
Seja a pertencente a G.
� claro que a^m = e (consequ�ncia do teorema de Lagrange).
Mas a^m = (a^(m/p^k))^(p^k) = e.
Logo, pelo que vimos acima, (a^(m/p^k))^(p^(k-1)) = e.
Ou seja, a^(m/p) = e para cada a em G ==>
x^(m/p) = e tem m > m/p solu��es.
2) Sejam N um subgrupo normal de G e a pertencendo a G um elemnto de ordem finita. Mostre que a ordem de a N em G/N � um divisor da o(a).
Nesse caso, � s� provar que (aN)^k = a^kN e isso sai f�cil por indu��o, levando em conta que N � normal, ou seja, bN = Nb para cada b em G.
Assim, se o(a) = m, ent�o (aN)^m = a^mN = eN = N ==> o(aN) divide m.
[]s,
Claudio.
